2. Симметризаторы Юнга. Комбинаторная лемма

Мы будем представлять себе подстановки индексов следующим образом. Имеются разграфленная доска, состоящая из "полей", помеченных номерами от 1 до пешек, которые могут быть расставлены на этих полях. Это можно сделать различными способами. Пешки можно сделать различимыми друг от друга путем различной окраски или, если не бояться возможных смешений, — снова с помощью номеров Движение есть переход от одной позиции пешек на доске к другой; оно описывается подстановкой

если пешка с "поля 1 передвигается посредством на поле пешка с поля 2 передвигается на поле 2, и т. д. Что мы хотим подчеркнуть, это — что подстановка (2.1) должна читаться как передвижение пешки с поля 1 на поле а не как замена пешки № 1 на ее поле пешкой № 1 и т. д. Таким образом, движение, показанное на схеме

представляется подстановкой

а не обратной подстановкой

Последовательное выполнение движения а затем движения

дает в результате движение, называемое их произведением

Иногда удобно иметь перед глазами одновременно и начальную и конечную позиции пешек. Для этого требуются две доски и два одинаковых набора пешек. Весь этот на вид чрезмерный педантизм оказывает серьезную помощь в уяснении порядка, в котором выполняется композиция подстановок.

Проблема, к которой мы теперь приступаем, заключается в следующем: как, исходя из произвольного тензора ранга и пользуясь идемпотентным оператором симметрии образовать тензор обладающий "максимальной возможной симметрией?". Мы уже имеем в готовом виде два простых способа этого типа — симметризацию и альтернирование:

порождающие классы симметричных и антисимметричных тензоров; напомним, что или — 1 смотря по тому, четна или нечетна подстановка Но строку нижних индексов можно разбить теперь на несколько строк, имеющих длины указываемые диаграммой и выполнить симметризацию тензора относительно аргументов отдельно в каждой из этих строк. Строки мы будем располагать в порядке убывания длин :

При фиксированной заданной диаграмме содержащей полей, обозначим через любую подстановку, оставляющую каждую пешку в своей строке, а через любую подстановку,

сохраняющую в том же смысле столбцы диаграммы Наша симметризация "по частям" выразится тогда суммой

применяя ее к произвольному тензору, мы получим тензор, симметричный относительно первых аргументов, следующих аргументов и т. д. Мы предполагаем здесь поля нашей доски занумерованными числами в их естественном порядке. Этот процесс не приводит к примитивному классу симметрии, т. е. к классу тензоров, обладающих максимальной возможной симметрией. Для усиления условий симметрии можно было бы дополнить симметризацию альтернированием. Если мы выполним альтернирование относительно каких-нибудь аргументов или полей, наудачу выбранных на нашей доске, то если хотя бы два из этих аргументов лежат в одной строке, в результате наверняка получится нуль; действительно, если симметрично, то есть нуль. Поэтому самое большее, что можно сделать, это — выбрать по полю в каждой строке; без всякого ограничения общности можно считать эти поля взятыми из первого столбца. Эти соображения наводят на мысль дополнить симметризацию (2.3) альтернированием относительно столбцов:

Окончательным процессом, который мы сопоставляем диаграмме будет тогда

Эти "симметризаторы" с впервые были открыты А. Юнгом. В изучении их свойств мы будем следовать Фробениусу или, точнее, упрощенному изложению фробениусовских доказательств, предложенному Нейманом . Мы хотим доказать три вещи:

1) что , с точностью до численного множителя есть идемпотент, т. е. что имеет место равенство

2) что идемпотент примитивен, так что совокупность всех тензоров есть неприводимое инвариантное подпространство тензорного пространства относительно алгебры биосимметричных преобразований, т. е. совокупность величин вида

есть неприводимое инвариантное подпространство группового кольца, рассматриваемого как -мерное векторное пространство, и 3) что инвариантные подпространства, порожденные таким способом симметризаторами с и с, соответствующими различным схемам неэквивалентны.

Имеется ли основание ожидать, что мы получим тогда все неприводимые представления симметрической группы Число различных схем равно числу "разбиений" на слагаемые

Распределение подстановок на классы сопряженных элементов определяется записью произвольной подстановки в виде произведения взаимно простых циклов. Цикл, скажем (1234), есть подстановка, переводящая 1 в 2, 2 в 3, 3 в 4, 4 в 1. Класс подстановки 5 описывается числом и длинами составляющих ее цикл ой: сопряженные элементы получаются путем всевозможных перераспределений номеров в той же схеме циклов. Так, например, подстановки

— сопряженные: есть подстановка, переводящая

Если имеется циклов длины циклов длины то эти числа удовлетворяющие условиям и

определяют класс. Таким образом, число классов равно числу решений уравнения (2.7) в неотрицательных целых числах. Если положить

то неравенства превратятся в а уравнение (2.7) — в Поэтому число классов равно числу различных диаграмм. Это обстоятельство позволяет с достаточным основанием рассчитывать на то, что построение Юнга даст полный комплект всевозможных неприводимых представлений.

Подстановки образуют группу (порядка ) и то же верно для подстановок Если подстановка может быть

представлена в виде то это разложение на составляющие единственно. Действительно,

Но подстановка типа может быть равна подстановке типа лишь будучи тождественной подстановкой 1; в самом деле, единственная подстановка, сохраняющая и строки и столбцы диаграммы Поэтому

Следовательно, симметризатор с может быть определен следующим образом:

все его коэффициенты равны либо 0, либо

Мы могли бы занумеровать поля нашей диаграммы числами в каком-нибудь другом порядке То же самое движение, которое описывалось раньше подстановкой описывалось бы теперь подстановкой где есть подстановка

так что с заменилось бы на с коэффициентами

Интерпретация величин х нашего группового кольца как операторов в тензорном пространстве была нужна здесь лишь для эвристических целей; теперь мы забудем о ней и сосредоточим наше внимание на -мерном пространстве или Инвариантное подпространство всех величин будет обозначаться через а соответствующее представление кольца X или группы (индуцированное в регулярным представлением) — через Очевидно нумерация полей не играет никакой роли, по крайней мере, поскольку это касается вопроса об эквивалентности. Действительно, подпространство величин эквивалентно подпространству величин как это сразу показывает взаимно однозначное отображение подобия

Исследование симметризаторов Юнга будет основываться на простой комбинаторной лемме, относящейся к двум диаграммам . Расположим все диаграммы в алфавитном порядке, считая, что предшествует или стоит выше если первая неравная нулю из разностей

положительна. Через будем обозначать любую позицию наших пешек на нолях диаграммы Движение, заменяющее заданное заданным есть подстановка

Поля в каждой диаграмме предполагаются занумерованными числами в их естественном порядке.

Лемма Пусть и -любые позиции в схемах и пусть не ниже Тогда представляются две возможности:

1) либо имеются две пешки, стоящие в одной и той же строке в одном и том же столбце в

2) либо и подстановка имеет вид

Доказательство. Пусть имеют тот же смысл относительно что относительно пешек, занимающих первую строку диаграммы в должны быть как-то распределены в столбцах диаграммы в Если то по крайней мере две из этих пешек должны находиться в одном и том же столбце в Т: верно альтернативное утверждение 1). Если же и первое альтернативное утверждение неверно, то все указанные пешки должны стоять в различных столбцах диаграммы тогда с помощью подстановки сохраняющей столбцы в мы можем передвинуть эти пешки во главу соответствующих столбцов. Отбросим теперь эти пешек, занимающих первую строку как в так и в новой позиции и вычеркнем первые строки в обеих схемах. Затем применим то же рассуждение ко второй строке, которая стала теперь первой строкой в обезглавленных схемах и продолжим этот процесс. Тогда либо на некотором шаге мы встретимся в с более длинной строкой, чем в Т:

либо . В первом случае, как показывает приведенное выше рассуждение, должно выполняться первое из альтернативных

утверждений леммы. Во втором же случае можно избежать этого лишь, если некоторая подстановка приводит к позиции совпадающей с с точностью до порядка расположения пешек в каждой строке. Поэтому некоторая перетасовка пешек в строках позиции в соединении с перестановкой пешек в различных столбцах позиции приведут обе позиции к полному совпадению:

Это равенство, или означает, что подстановка имеет вид Действительно, так как подстановка определяется номерами полей, а не пешек, то есть некоторое если

Сформулируем нашу лемму заново, разбив ее теперь на два случая: выше и Во втором случае заменим обозначение означающее здесь новую позицию пешек на доске , через Если выполняется первое из альтернативных утверждений леммы то обозначим через и транспозицию двух пешек, о которых идет там речь, в их исходном положении в а через то же для их окончательного положения в Если снова подстановка то имеем тогда

и есть подстановка типа типа

Лемма Пусть — заданная диаграмма. Если подстановка не может быть представлена в виде то существуют две транспозиции такие, что причем и есть подстановка типа типа

Лемма Если выше то для произвольной подстановки можно найти транспозицию и типа и транспозицию типа такие, что

Действительно, взяв любую позицию вводим ту позицию на второй доске вкоторую переходит под действием