7. Теорема расширения. Третий, пример: группа ступенчатых преобразований

В этом параграфе мы будем иметь дело исключительно с ковариантными векторами. Исходя из заданной группы линейных преобразований переменных мы построим "расширенную группу" относительно переменных

состоящую из всех матриц

удовлетворяющих следующим условиям:

Разбиение в (7.2) соответствует разбиению переменных на основные и присоединенные Если при присоединение переменной истолковать как переход к однородным координатам, то расширение будет представлять:

1) группу параллельных переносов, если состоит из одного лишь тождества;

2) группу, характеризующую аффинное -мерное пространство, если есть или

3) группу, характеризующую эвклидову геометрию, если есть ортогональная группа или

Ввиду столь важных применений особенно приятно, что все инварианты расширенной группы определяются по инвариантам исходной группы посредством следующей простой и общей теоремы и:

Теорема (II.7.А). Полный список типовых базисных инвариантов для расширенной группы получается из полного

списка типовых базисных инвариантов для исходной группы путем присоединения определителя зависящего от типовых аргументов

Доказательство. Тождества Капелли сводят нашу задачу к доказательству того, что инвариант группы

зависящий от аргументов не содержит присоединенных переменных и потому является инвариантом -мерного пространства относительно Предполагая численно заданными векторами, для которых определитель

сделаем следующую подстановку, принадлежащую Г:

коэффициентов можно определить так, чтобы для каждого из численно заданных векторов последняя преобразованная компонента х, обратилась в нуль. Определителем линейных уравнений для неизвестных коэффициентов является как раз (7.5). В силу инвариантности получаем, что функция (7.4) будет равна

Так как это равенство выполняется при подстановке любых аргументов, удовлетворяющих алгебраическому неравенству (7.5), то по принципу несущественности алгебраических неравенств оно должно быть формальным тождеством. Следовательно, не Зависит от последней компоненты ее векторных аргументов,

Тем же путем убедимся в независимости от остальных присоединенных компонент

Непосредственно применяя теорему расширения мы определим здесь полную таблицу типовых базисных инвариантов, зависящих от ковариантных векторов, только для группы "ступенчатых преобразований", т. е. всех преобразований (7.2), удовлетворяющих условиям

Мы снова предполагаем, что ступени имеют соответственно ширину и пользуемся для основных и присоединенных компонент обозначением (7.1).

Теорема Все чисто ковариантные векторные инварианты группы ступенчатых преобразований выражаются через два типовые: (полный) компонентный определитель зависящий от всех аргументов, и (основной) компонентный определитель, зависящий от основных аргументов:

Обобщение на лестницу, содержащую более чем две ступени, очевидно. В частности, можно рассматривать лестницу из ступеней ширины 1 в -мерном пространстве, т. е. группу всех «рекуррентных матриц"

у которых на главной диагонали стоят одни единицы. Инварианты этой группы называются семиинвариантами.