2. Символический метод

Символический метод лучше всего иллюстрируется классическим примером инварианта степени зависящего от произвольной ковариантной формы и степени Путем специализации и в качестве степени линейной формы:

превращается в инвариант зависящий от ковариантного вектора В этой примитивной форме наш метод, имеющий своей целью замену инвариантов форм векторными инвариантами, не приносит большой пользы, поскольку

слабо отличим от его символического представителя Однако этот недостаток устраняется путем предварительной полной поляризации инварианта (Поляризация, примененная к аргументам и, называется процессом Аронгольда.) Поляризованная форма линейно зависит от произвольных форм степени кроме того, она симметрична относительно ее аргументов и при отождествлении

обращается снова в При подстановке вместо степеней линейных форм, инвариант форм превращается в инвариант зависящий от ковариантных векторов при этом имеет степень по каждому из своих аргументов, называется символическим выражением для У с ковариантными векторами как эквивалентными символами, подставленными вместо одной и той же формы и. Чтобы получить обратно из замечаем, что линейная форма от коэффициентов формы а:

однозначно определяется ее значением при специальном выборе а, (2.1), а именно, формой

Если временно обозначить векторные аргументы в через

то будет получаться из

следующим образом:

Этот процесс действителен даже, если не симметрична относительно ее эквивалентных векторных аргументов Имеем

для любой перестановки символов

Из первой основной теоремы мы знаем, как обстоит дело с векторными инвариантами: все они выражаются через компонентные определители Таким образом, символический метод дает правило для вычисления всех инвариантов заданной степени настолько явный и финитный, насколько этого вообще можно требовать: образуем все возможные произведения компонентных определителей векторов имеющие по каждому из этих векторов степень и выполняем переход к несимволической форме. Каждый инвариант степени является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами от так полученных Сколь ни велико это достижение, следует, однако, указать, что изложенный метод далеко еще не сводит построения конечного целого рационального базиса для инвариантов форм к построению такого же базиса для векторных инвариантов. Действительно, число символических векторных аргументов которые нам пришлось ввести, зависит от степени инварианта желая учесть инварианты всех возможных степеней, мы должны иметь в нашем распоряжении неограниченный запас таких символов.

Обобщение на инварианты зависящие от нескольких форм непосредственно напрашивается. В случае коварианта символическое выражение

будет помимо символических ковариантных векторов

зависеть еще от контравариантного вектора 5, и потому будет выражаться через латинские компонентные определители и произведения типа

Примеры, (а) Дискриминант

бинарной квадратичной формы

Поляризация превращает в

что при специализации дает

Следовательно, символическим выражением для служит

(b) Якобиан трех тернарных форм, которые мы записываем символически в виде

как легко видеть, равен

Никакой поляризации не требуется, так как якобиан линеен относительно коэффициентов рассматриваемых форм.

(c) Гессиан тернарной формы

как легко видеть, имеет символическим выражением

Для обеспечения естественной общности мы теперь снова допустим в качестве аргументов наших инвариантов переменные обобщенные величины предписанных сигнатур Как нам следует приспособить символический метод к этому общему случаю? Мы раньше видели, что предположение О не налагает никакого серьезного ограничения. а пробегает тогда совокупность всех тензоров ранга симметрии Пусть производящий идемпотент этого класса симметрии, численное кратное симметризатора Юнга с. Мы заменяем тензор на так что пробегает теперь все тензоры ранга

Так как для тензоров из то нам таким образом удалось построить инвариант определенный для произвольных тензоров совпадающий с заданным в области

в которой был определен. Устранив тем самым какое бы то ни было ограничение симметрией, применим процесс Аронгольда

к У и затем специализируем как произведение переменных ковариантных векторов

Исходный инвариант У воспроизводится по полученному так векторному инварианту простым способом.

При переходе от инвариантов к изучению ковариантных обобщенных величин естественно принять, что в сигнатуре величины заданы лишь разности они характеризуют поведение при унимодулярных преобразованиях А. Но преобразуется с точностью до множителя как тензер с симметрией

и

есть тогда Инвариант веса зависящий от контравариантных векторов в своей зависимости от он легко поддается символической трактовке.