2. Обертывающая алгебра ортогональной группы

Нижеследующая лемма важна во многих случаях:

Лемма Каждое множество ортогональных преобразований над вещественным полем вполне приводимо.

Доказа тельство. Пусть векторное пространство, в котором действуют ортогональные преобразования С из заданного множества Для каждого подпространства пространства инвариантного относительно строим подпространство ортогональное к в Р: вектор лежит в если он ортогонален ко всем векторам из Ясно, что как и инвариантно относительно всех ортогональных подстановок С. Если размерность и базис подпространства то общий вектор подпространства подчинен независимым однородным линейным уравнениям

Поэтому размерность подпространства равна , и для обоснования разложения остается еще установить, что может быть нулем лишь, если оба слагаемых равны нулю. Но умножая обе части равенства

скалярно на получаем откуда, вследствие вещественности основного поля, заключаем, что

Пусть теперь пробегает ортогональную группу Тогда будет пробегать группу индуцируемую группой в тензорном пространстве ранга . В этом тензорном пространстве мы можем ввести метрику, определив скалярное произведение двух тензоров формулой

Заметим теперь, что матрица ортогональна в коль скоро матрица А ортогональна в Поэтому наша лемма показывает, что над вещественным полем группа вполне приводима.

Матрицы индуцированные ортогональной матрицей А, очевидно, удовлетворяют линейным уравнениям

Матрицы (1.1), из удовлетворяющие этим условиям, как легко проверить, образуют некоторую матричную алгебру а их старшие члены -алгебру Мы утверждаем:

Теорема Над вещественным пифагоровым полем, есть обертывающая алгебра группы

Это предложение (вернее, соответствующее предложение симплектической, а не для ортогональной группы) впервые былэ доказано автором [3]. Более простой метод, которому мы здесь следуем, предложил Брауэр, Как мы заметили вначале, множество вполне приводимо; поэтому можно будет воспользоваться критерием теоремы Матрица (1.5), перестановочная со всеми состоит из матриц коэффициентов инвариантов

линейно зависящих от векторов

Различие между ковариантным и контравариантным в случае ортогональной группы отсутствует.

Наше доказательство основной теоремы для ортогональных инвариантов в его первой форме проходит в вещественном пифагоровом поле. Поэтому, при предположении нашей теоремы,

мы знаем, что (2.4) должно быть линейной комбинацией членов, каждый из которых сопрягает наши и аргументов в пары, образующие скалярные произведения.

Однако на этот раз нет никакого различия двух "полов". При надлежащем расположении аргументов рассматриваемый член будет произведением а последовательных множителей

у последовательных множителей

и последовательных множителей

Соответствующая матрица описывается формулой

Для удовлетворяющего уравнениям (2.2), матрица равно как и оказывается равной

При этом, вычисляя произведение мы используем уравнения вычисляя же уравнения Постулат бисимметрии обеспечивает свободу перестановки порядка индексов I или Поэтому каждая матрица нашей алгебры перестановочна со всеми коммуяаторами В, и критерий приводит нас к цели.

В несколько другом аспекте то, что мы здесь выполнили, может быть описано как определение всех соотношений степени

существующих между ортогональными матрицами Коэффициенты у такого соотношения мы предполагаем записанными в "бисимметричной" форме. Тогда соответствующее соотношение

должно выполняться для всех матриц нашей алгебры Если рассматривать все величины

как независимые переменные, однако, с самого начала принимая во внимание бисимметричность, то (2.6) должно быть линейной комбинацией левых частей уравнений (2.2). Это — применение известного принципа, согласно которому линейная форма

обращающаяся в нуль для всех значений которые одновременно обращают в нуль линейные формы необходимо является линейной комбинацией этих последних форм. Рассматривая теперь как независимые переменные и беря в частности находим, что левая часть соотношения (2.5) есть линейная комбинация полиномов

Иными словами:

Теорема Каждый полином формальной степени обращающийся в нуль для всех ортогональных матриц есть комбинация

частных таких полиномов второй степени:

коэффициенты которой суть полиномы формальной степени