Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5. Вычисление характеровПосле этих приготовлений мы можем уже в несколько строк осуществить вычисление характеров унитарной группы 1) Как функция классов, 2)
Полагая
получаем из (5.2):
Каждая из этих
Поэтому след, сумма Мы всегда будем располагать одночлены
в лексикографическом порядке, так что член с показателями
положительна. 3) Вид (4.4) элемента объема, входящего в соотношения ортогональности для примитивных характеров, наводит на мысль отнести каждому характеру х функцию
Эта 5 будет антисимметрической периодической функцией и снова конечным рядом Фурье с целыми коэффициентами. Коэффициент при старшем члене — тот же, что и у и потому положителен. Простейшими антисимметрическими периодическими функциями являются элементарные суммы"
распространенные знакопеременно на все перестановки углов
Сумму (5.5) можно записать в виде определителя
— старший член антисимметрической функции Вместе с ним
где
Вычтя
где коэффициенты
Из соотношения
легко следует соотношение 1 1
Заметим, что определитель А сам является элементарной суммой, а именно,
поэтому
Применяя к разложению (5.8) "соотношения ортогональности" (5.10), получаем поэтому:
Если характер 1 примитивен, то это среднее должно быть равно 1. Следовательно, разложение состоит из одного лишь первого члена и Теорема (VII.5.А). Любой примитивный характер унитарной группы имеет вид
где Старшим членом этого конечного ряда Фурье (5.11) служит
где
так что
Мы обозначим, функцию (5.11) через Для нахождения степени получилась бы неопределенность
благодаря чему числитель выражения (5.11) превращается в разностное произведение чисел
то получаем (5.14)
Вот и вся трансцендентная" часть. В § 5 главы IV мы пробили туннель с другой стороны, показав, что алгебраически построенное неприводимое представление сигнатуры
с неотрицательными целыми коэффициентами
Поэтому 1 не может быть ничем другим, кроме нашего Теорема (VII.5.B). Неприводимое представление сигнатуры
и степень
где
Теорема Теорема
Величины, названные нами "обобщенными", суть единственные примитивные величины для унитарной группы.
|
1 |
Оглавление
|