5. Вычисление характеров

После этих приготовлений мы можем уже в несколько строк осуществить вычисление характеров унитарной группы Оно основывается на трех замечаниях Рассмотрим любое непрерывное представление степени группы и его характер

1) Как функция классов, будет непрерывной симметрической периодической функцией от углов Это связывает формулу (4.1) с нашей задачей.

2) есть след матрицы, представляющей диагональный элемент Поэтому мы можем ограничиться группой диагональных элементов, являющейся компактной коммутативной группой очень простой, структуры. Заданное ее представление эквивалентно некоторому унитарному и потому, согласно теореме разбивается на унитарных представлений степени каждое из которых удовлетворяет функциональным уравнениям

Полагая

получаем из (5.2):

Каждая из этих функций от одного переменного является решением функционального уравнения (3.13) и потому имеет вид где целое число. Следовательно,

Поэтому след, сумма величин или наш характер 1 является конечным рядом Фурье с неотрицательными целыми коэффициентами.

Мы всегда будем располагать одночлены

в лексикографическом порядке, так что член с показателями будет считаться предшествующим члену с показателями если первая из не равных нулю разностей

положительна.

3) Вид (4.4) элемента объема, входящего в соотношения ортогональности для примитивных характеров, наводит на мысль отнести каждому характеру х функцию

Эта 5 будет антисимметрической периодической функцией и снова конечным рядом Фурье с целыми коэффициентами. Коэффициент при старшем члене — тот же, что и у и потому положителен.

Простейшими антисимметрическими периодическими функциями являются элементарные суммы"

распространенные знакопеременно на все перестановки углов (или чисел суть целые числа, расположенные в порядке убывания:

Сумму (5.5) можно записать в виде определителя

строк которого получаются из выписанной путем последовательной замены на Пусть

— старший член антисимметрической функции Вместе с ним должна содержать все члены

где любая перестановка ряда Поэтому члены со знаком минус и, в частности, члены, получающиеся путем транспозиции, должны быть ниже чем (5.7), так что

Вычтя из , мы можем применить то же рассуждение к оставшейся части, и так получить в итоге разложение по убывающим членам, вида

где коэффициенты целые и

Из соотношения

легко следует соотношение 1 1

Заметим, что определитель А сам является элементарной суммой, а именно,

поэтому

Применяя к разложению (5.8) "соотношения ортогональности" (5.10), получаем поэтому:

Если характер 1 примитивен, то это среднее должно быть равно 1. Следовательно, разложение состоит из одного лишь первого члена и или, принимая во внимание (5.9),

Теорема (VII.5.А). Любой примитивный характер унитарной группы имеет вид

где убывающие целые числа.

Старшим членом этого конечного ряда Фурье (5.11) служит

где

так что

Мы обозначим, функцию (5.11) через

Для нахождения степени следует положить Но это нельзя сделать непосредственно, потому что

получилась бы неопределенность Поэтому мы сперва полагаем

благодаря чему числитель выражения (5.11) превращается в разностное произведение чисел и так как для малых в первом приближении,

то получаем (5.14)

Вот и вся трансцендентная" часть. В § 5 главы IV мы пробили туннель с другой стороны, показав, что алгебраически построенное неприводимое представление сигнатуры являющееся в случае представлением имеет своим характером полином

с неотрицательными целыми коэффициентами старшим членом которого служит

Поэтому 1 не может быть ничем другим, кроме нашего

Теорема (VII.5.B). Неприводимое представление сигнатуры унитарной группы имеет характер

и степень

где

Теорема позволяет тогда сделать следующее заключение:

Теорема Не существует никаких иных непрерывных неприводимых представлений унитарной группы, кроме представлений сигнатуры

Величины, названные нами "обобщенными", суть единственные примитивные величины для унитарной группы.