В. И ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

9. Групповое ядро и алгебры Ли

Окрестность единичного элемента 1 локально эвклидовой непрерывной группы есть топологический образ эвклидова пространства, в котором композиция применяется лишь к элементам, достаточно близким к центру 1. Назовем такое многообразие групповым ядром, предполагая, что композиция, коль скоро она определена, обладает теми же свойствами, что и для непрерывной группы Каждое ли групповое ядро может быть продолжено до полной группы (образуя на ней некоторую

окрестность единичного элемента), — трудный вопрос, лежащий за пределами нашего современного знания. Элементы предполагаемой группы можно было бы ввести как произвольные конечные цепи элементов группового ядра. Трудность лежит в том, чтобы решить, при каких условиях две такие цепи следует отождествить.

Однако, если существует группа у с заданным групповым ядром то можно точно установить, до какой степени она определяется ядром. (Если у состоит из нескольких отдельных кусков, то мы принимаем в расчет только кусок, содержащий точку 1, который сам является группой; остальные куски, его смежные классы, считается вне игры.) Мы имеем здесь перед собой просто частный случай вопроса о том, в какой степени многообразие известно на всем своем протяжении, если оно локально известно в каждой точке Ответ на этого рода вопрос доставляет универсальное накрывающее многообразие; докажем, что оно является непрерывной группой с тем же групповым ядром Эту односвязную группу обозначим теперь через у. Каждая группа у с ядром имеет у своим универсальным накрывающим многообразием. Другими словами, каждое продолжение ядра до целой группы у получается из наиболее "полной" такой группы у путем проектирования: берется произвольная дискретная группа непрерывных автоморфизмов многообразия без неподвижных точек, и точки группы у, эквивалентные относительно отождествляются. При этом точки эквивалентны относительно если они получаются одна из другой посредством некоторого преобразования из группы Дискретность означает, что никакое множество взаимно эквивалентных точек нигде на у не имеет точки сгущения. Отсутствие неподвижных точек означает, что ни для какого преобразования из отличного от тождественного, не существует точки для которой бы Таким образом, нам надлежит показать следующее: пусть — две группы с общим ядром и пусть у односвязна; тогда существует определенное непрерывное гомоморфное отображение группы у на , являющееся тождественным в ядре Функция строится хорошо известным процессом продолжения, впервые примененным в области аналитических функций Вейерштрассом. Если известна для точки то в окрестности мы определяем эту функцию формулой

где а — элементы ядра Так, путем последовательных продолжений вдоль какого-нибудь пути, ведущего от 1 к мы придем к определенному образу в конечной точке Вообще говоря, будет зависеть не только от конечной точки, но и от пути. Однако, если у односвязна, то продолжение вдоль различных путей, ведущих от 1 к необходимо приведет к одному и тому же Рассматривая точку как "след" точки мы превращаем у в (неограниченное, неразветвленное) многообразие, накрывающее у, и группа накрывающих преобразований 5 группы у над у строится известным образом.

Все это не что иное, как топологический прием, к которому всегда обращаются, когда нужно установить связь между происходящим в малом и в большом; лишь один момент специфичен для теории групп, а именно, что универсальное накрывающее многообразие у непрерывной группы у есть снова непрерывная группа. Точка многообразия у определяется точкой группы у и путем, ведущим на у от центра 1 к Два пути, ведущие от 1 к определяют на у одну и ту же точку в том и только в том случае, если их можно непрерывно деформировать один в другой, не смещая концов (или если и тот и друсой путь приводит к одной и той же конечной точке на каждом неразветвленном неограниченном многообразии у над у, в предположении, что они начинаются от одной и той же точки 1. Считая примыкающими к пути, определяющему точку все пути, начинающиеся лежащие в заданной (эвклидовой) окрестности точки получаем] окрестность точки Путь описывается непрерывной функцией аргумент которой X изменяется в интервале вещественной оси, тогда как значения ее берутся из у; путь соединяет если Если точка над задана путем над путем то мы можем определить путем, состоящим из пути продолженного путем

получающимся из левым сдвигом на . В совокупности это дает путь, который можно получить из

заставляя точку описывать ломаную Тот же результат даст и ломаная

поскольку одна из этих, ломаных может быть деформирована в другую внутри квадрата Вполне допустимо также вместо этих ломаных взять диагональ квадрата

Первые два определения показывают, что непрерывно по равномерно относительно и непрерывно по равномерно относительно откуда следует непрерывность по совокупности аргументов Диагональное же определение показывает, что элемент определяемый путем обратен к

То же рассуждение, что и примененное нами при построении функции приводит к заключению, что любая непрерывная реализация, в частности любое непрерывное представление группового ядра может быть однозначным образом продолжено до целой односвязной группы у. Однако получающееся в результате представление, вообще говоря, не будет однозначным на "менее полных" группах у, порождаемых ядром

При определенных условиях дифференцируемости групповое ядро приводится к (и воспроизводится по) его инфинитезимальним элементам которые образуют не только линейную совокупность, касательную плоскость к группе у в начале 1, но даже некоторого рода алгебру Кроме сложения и умножения на числа, подчиняющиеся правилам, обычным для всех линейных систем, мы имеем еще умножение (соответствующее образованию коммутатора двух групповых элементов удовлетворяющее закону дистрибутивности по обоим сомножителям:

(X — любое число). Однако взамен закона ассоциативности имеются антикоммутативность

и правило Якоби

Числа берутся здесь из континуума К. В честь Софуса Ли такую алгебру называют ныне алгеброй Ли. Алгебру Ли, составленную инфинитезимальными элементами группы или группового ядра, мы будем называть инфинитезимальной группой. Каждая

алгебра Ли а над К порождает и однозначно определяет групповое ядро, для которого а служит инфинитезимальной группой. Остается, однако, сомнительным, продолжаемо ли групповое ядро до целой группы 9а. Сам Ли недостаточно отдавал себе отчет в этом последнем пункте, так как его интересы целиком концентрировались на вопросах в малом. Следует подчеркнуть, что, независимо от его значения для непрерывных групп, понятие алгебры Ли применимо к любому числовому полю оно является в такой же степени чисто алгебраическим и так же достойным независимого алгебраического изучения, как и понятие ассоциативных алгебр. Для группы линейных преобразований или матриц "коммутаторным произведением" двух инфинитезимальных элементов оказывается

Поэтому отображение где а пробегает алгебру Ли, является представлением этой алгебры матрицами, если из а следует

И это снова — чисто алгебраическое понятие. Очевидно, без наличия законов всякая надежда на получение точного представления абстрактной алгебры Ли была бы подрезана в корне.

Формула (9.4) является единственным моментом во всей теории Ли, имеющим прямое отношение к нашим исследованиям. Поэтому мы дадим ее доказательство. Интегралообразное повторение инфинитезимального линейного преобразования А приводит к однопараметрической группе преобразований; для нахождения ее следует проинтегрировать дифференциальное уравнение

с начальным значением Это выполняется с помощью показательной функции которая для матриц определяется совершенно так же, как и для чисел:

Имеем

Образуем из

коммутатор

нам нужно доказать для него предельное соотношение

Для любой функции при обращающейся в нуль тождественно по а при тождественно по имеем

в предположении, что производная, стоящая под знаком интеграла, существует и непрерывна, так что

Чтобы применить это к вычисляем

При это переходит в

у является инвариантной подгруппой группы у, если для любого из у и любого из у элемент или коммутатор принадлежит у. Соответственно для алгебр Ли: линейное подпространство а из а является инвариантной подалгеброй алгебры а, если для каждого х из а и каждого а из а произведение лежит в а. Таким образом, адэкватным описанием этой ситуации мог бы служить термин "идеал в Совокупность всех элементов вида и их линейных комбинаций, очевидно, является такой инвариантной подалгеброй а в , соответствующей коммутаторной группе в теории групп; Ли называл эту подалгебру производной алгеброй.