4. Ортогональный простой идеал

Стройность наших последних результатов несколько нарушается дополнительным условием назначением которого является охватить и несобственно ортогональные преобразования. Включить их побудила нас чрезвычайная простота основной теоремы теории инвариантов для полной ортогональной группы. Раз мы теперь начали тяготиться ими, то единственным выходом из положения является исследование собственно ортогональной группы.

Собственно ортогональная матрица удовлетворяет соотношениям

и

В качестве их следствия мы получили следующее обобщение (1.3.6) соотношения (4.3):

Здесь суть четные перестановки ряда Поэтому и можно без ограничения общности считать, что

Для матрицы индуцированной собственно ортогональной матрицей А, (4.4) приводит к соотношениям типа

Здесь и снова суть четные перестановки ряда Влевой части стоит знакопеременная сумма, распространенная на все перестановки ряда и аналогичная сумма — в правой часта. Благодаря бисимметричности матриц левая часть косо-симметрична относительно правая же часть — относительно Левая часть тождественно совпадает с результатом альтернирования по индексам строк т. е. с

Уравнения (4.6) вместе с (2.2) определяют внутри некоторую алгебру

Теорема Алгебра определенная уравнениями (4.6) и (2.2), есть обертывающая алгебра группы

Доказательство проводится тем же путем, - что и раньше. Выражение (2.4), будучи инвариантом относительно собственно ортогональных преобразований, является суммой членов, каждый из которых может содержать, кроме множителей указанных раньше типов, еще один множитель типа

Для доказательства того, что каждый элемент из перестановочен с таким В, следует использовать уравнения (4.6). Это — дело прямого вычисления; предоставляю его читателю, так как в печатном виде, вследствие обилия индексов, вычисление выглядело бы более сложным, чем есть на самом деле.

И здесь можно ограничиться в группе неисключительными рациональными в результате получим:

Теорема Каждый, полином формальной степени в ортогональном идеале о является комбинацией

базисных полиномов (4.1), (4.2), (4.4), коэффициенты которой

суть соответственно полиномы формальных степеней

Как известно, уравнения

являются следствиями уравнений определяющих ортогональность. Верно ли это не только в численном, но и в формальном смысле идеалов? Другими словами, верно ли, что для независимых переменных

Ответ оказывается утвердительным. Что касается первого сравнения, то нужно лишь повторить численное доказательство, рассматривая как определитель матрицы . Далее, суть соответственно элементы матриц Имеем:

Пользуясь минорами матрицы А, выводим отсюда дальнейшие соотношения

и, наконец, на основании доказанного уже соотношения сравнения

Таким образом, каждое выражается в виде суммы

Однако это выражение не удовлетворяет условию относительно формальных степеней, являвшемуся характерной особенностью наших теорем и потребовавшему бы здесь, чтобы имели нулевую степень (согласно нашему доказательству, степень повысится до Поэтому присоединение полиномов излишне, если нашей целью является лишь нахождение базиса идеала ; но оно не излишне, если требуется учитывать условие относительно формальных степеней.

В том же формальном смысле сравнений по идеалу все соотношения (4.4) являются следствием совокупности соотношений и Пусть матрица миноров порядка матрицы Тогда, тождественно относительно имеем

откуда

поэтому, относительно тех же модулей,

откуда, принимая во внимание,что , получаем:

Это есть соотношение

Вывод из (4.7) соотношений для миноров низшего порядка, кратко намеченный в § 3 главы I, остается в силе и при замене равенств сравнениями Таким образом, если отбросить постулат относительно формальной степени, то наша теорема просто утверждает, что полиномы

образуют базис в 0. (Разумеется, здесь роль могут играть

Мы имеем выбор между следующими тремя определениями ортогонального идеала о над полем

(1) принадлежит о, если при подстановке (3.2) обращается в нуль тождественно относительно

(2) принадлежит с, если обращается в нуль для каждой собственно ортогональной матрицы А над

(3) есть идеал с базисом (4.9).

Если сначала различать идеалы, удовлетворяющие этим трем определениям, символами то, очевидно, будем иметь

Но, как мы теперь доказали, и потому все три определения эквивалентны. Наиболее удобно взять за исходный пункт естественное определение (2); тогда (1) показывает, что есть простой идеал, имеющий (3.2) в качестве своего "общего корня" (см. ван дер Варден "Современная алгебра", 2-е изд., ч. II, стр. 67), тогда как (3) дает конечный базис идеала с.

Теорема Идеал , состоящий из -полиномов обращающихся в нуль для всех собственно ортогональных матриц А над есть простой идеал с общим нулем (3.2) а с конечным базисом (4.9).

Первое утверждение теоремы на "геометрическом" языке означает, что собственно ортогональная группа есть неприводимое алгебраическое многообразие в -мерном пространстве всех матриц порядка, причем это верно при любом поле характеристики 0.

Для формулировки более тонкого результата удобнее перейти к однородным переменным, путем подстановки вместо а Тогда мы оперируем в области переменных а и рассматриваем в ней однородные формы. В частности, мы пишем теперь

с условиями, принятыми в (4.4), включая Ортогональная группа дополняется теперь растяжениями; расширенная так

группа есть неприводимое алгебраическое многообразие в «мерном проективном пространстве с однородными координатами и наша теорема определяет естественный ее базис:

Теорема (V. 4. D). Идеал форм от переменных базис которого образуют выражения (4.10), (4.11), (4.12), является простым. Именно, он содержит все те и только те формы которые обращаются в нуль при подстановке