14. Конечный целый рациональный базис для инвариантов компактных групп

Мы переходим теперь к тому существенному пункту раздела В настоящей главы, которому подчинены все остальные рассмотрения этого раздела.

Теорема Инварианты (абсолютные) соответствующие заданному множеству представлений конечной или компактной группы Ли, обладают конечным целым рациональным базисом.

На основании теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах выбираем сперва среди инвариантов, не сводящихся к постоянной, конечное число

таких, что все указанные инварианты являются их линейными комбинациями с полиномиальными коэффициентами:

Следующим шагом было бы изобретение линейного процесса переводящего каждый полином в инвариант и, кроме того, удовлетворяющего условиям

для каждого инварианта Обладая таким процессом, выводим из (14.2):

Так как инварианты, то индукцией по степени докажем, что каждый инвариант выражается через базис (14.1).

Процесс требуемой природы дается усреднением по групповому многообразию:

Оно действует в любой конечной группе (в предположении, что числовое поле не есть поле простой характеристики, делящей порядок группы), а также в любой компактной группе Ли. Оно действует во всех вообще компактных группах, поскольку они допускают меру Хаара; наконец, оно действует в какой угодно группе, если ограничиться неймановскими почти периодическими представлениями. Наиболее важным примером, кроме конечных групп, служат вещественная ортогональная группа над вещественным полем К и ее двухлистное универсальное накрывающее многообразие.

В случае классических групп над К или описанный способ применяется после того, как введено унитарное ограничение. С помощью рассуждений, проведенных в § 11, можно снова освободиться от этого ограничения, либо заменить его некоторым другим условием вещественности. В результате получаем: Теорема (VIII.14.В). Инварианты классических групп, соответствующие любым представлениям Ли над К, обладают конечным целым рациональным базисом.

В действительности, мы доказали это раньше путем подробного алгебраического исследования, основывавшегося на явном определении всех представлений Ли, на -процессе Кэли и методе присоединения. Но преимущества метода интегрирования, его непосредственность и общность относительно природы группы, очевидны. Большим его недостатком является то, что он имеет силу лишь в одном поле К. Кроме того, группа ступенчатых преобразований, которую мы до некоторой степени смогли

охватить методом присоединения, определенно находится за пределами достижимого методом интегрирования. Действительно, там, где метод интегрирования применим, непосредственно или же через посредство унитарного приема, он устанавливает и полную приводимость и существование конечного целого рационального базиса для инвариантов. Но первое предложение просто неверно для только что упомянутой группы. Нам неизвестно ни одного примера, где первая основная теорема об инвариантах была бы неверна; но и доказательство ее, справедливое для всех вообще групп, в равной степени неизвестно