5. Редукция первой основной проблемы с помощью тождеств Капелли

Применение тождества Капелли к исследованию инвариантов, зависящих от векторных аргументов может быть описано для произвольной группы линейных преобразований А следующим образом. Поляризация переводит (абсолютный или относительный) инвариант в инвариант (с тем же мультипликатором). Специальное тождество Капелл показывает, что, в случае есть относительный инвариант мультипликатор которого равен мультипликатору инварианта деленному на определитель преобразования. В частности, применение оператора к абсолютному

инварианту дает абсолютный инвариант, если состоит из унимодулярных преобразований; в последующем нас будет интересовать преимущественно этот случай.

Форма имеет определенную степень по каждому из своих аргументов Сумма есть полная ее степень. Мы положим формы в первую очередь, по их полным степеням, т. е. будем считать в иерархии форм ниже чем если полная степень формы меньше полной степени формы Например, (в случае ниже чем так как -процесс уменьшает полную степень на В пределах же совокупности всех форм заданной полной степени мы будем придерживаться лексикографического расположения по индивидуальным степеням т. е. будет считаться ниже чем если первая из степеней в которых различаются имеет меньшее значение для Формы, совладеющие по всем их степеням будут считаться имеющими одинаковый ранг; для них мы порядка старшинства определять не станем.

Главный член в операторном определителе тождества Капелли,

преобразует в

Численный множитель при отличен от нуля, если т. е. если действительно содержит первую переменную Относительно любого другого члена заметим, что в нем можно опустить диагональные множители ; эффект их сводится просто к умножению на некоторые постоянные, которые мы объединим в один множитель включив в него и знак всего члена Этот член принимает тогда вид

где есть перестановка ряда При этом, как нетрудно убедиться, Так как главный член является единственным, в который не входит ни один множитель с различными индексами а, то левая часть тождества Капелли приводится к виду

где

имеет относительно x меньшую степень, чем относительно же — большую. Первое решает; так как то ниже, чем

Тождества Капелли можно теперь записать следующим образом:

где 1) ниже чем и являются инвариантами, если инвариант, 2) есть последовательность поляризаций и 3) если действительно содержит

Предположим теперь, что мы выбрали из (абсолютных) инвариантов группы зависящих от векторных аргументов конечное множество

относительно которых хотим доказать, что они образуют целый рациональный базис для всех этих инвариантов. Примем, что таблица (5.3) замкнута относительно поляризации.

Предположение Каждое либо само есть одна из функций либо, по крайней мере, выражается через эти функции целым рациональным образом.

Я утверждаю: при этом предположении (5.3) является целым рациональным базисом для аргументов если те которые не зависят от образуют целый рациональный базис для аргумента

Действительно, в силу (5.1), выражается через множество (5.3), если этим свойством обладают инварианты входящие в правую часть. В самом деле, вследствие предположения I и формальных свойств (1.1.7) операторов поляризации, из выражения для получается аналогичное выражение для поскольку дело сводится к применению поляризаций из которых состоит к аргументам функции Действительно,

Наше рассуждение предполагает, что действительно содержит хтак как иначе было бы равно нулю. Но формы ниже, чем Применяя полную индукцию по рангу, мы будем вынуждены остановиться лишь, когда рассматриваемый инвариант окажется степени относительно

Можно сделать еще один шаг и даже в случае с помощью специального тождества Капелли (5.2) сократить число аргументов до , если прибавить еще

Предположение И (относящееся лишь к случаю Определитель содержится среди функций либо выражается через эти функции.

Поскольку мы изменяем число аргументов, наш результат удобнее выразить в терминах типовых базисных инвариантов. Сформулируем это понятие еще раз. Пусть задано несколько инвариантов

зависящих линейным образом от некоторых векторных аргументов (не обязательно одних и тех же для каждой функции); эти инварианты образуют полную таблицу типовых базисных инвариантов для аргументов, если (5.4) превращается в целый рациональный базис для инвариантов от аргументов путем подстановки этих аргументов вместо во всех возможных комбинациях (включая и повторения). Так как такая подстановка приводит к множеству (5.3), удовлетворяющему требованию I, то, применяя индукцию по заключаем:

Теорема Конечная таблица типовых базисных инвариантов линейной группы порядка будет полной системой для любого числа аргументов, если это справедливо для аргументов; достаточно даже аргументов, если предположить еще, что определитель содержится в этой таблице или, по крайней мере, выражается через ее инварианты.

Даже если элементы А группы не унимодулярны, первая часть теоремы сохраняет силу для относительных инвариантов,

мультипликаторы которых принадлежат некоторой заданной группе, т. е. совокупности, содержащей вместе с любыми двумя мультипликаторами также вторая часть требует чтобы группа содержала определитель преобразования

Почти во всех случаях доказательство первой основной теоремы состоит из двух частей: формальной части, в которой посредством тождеств Капелли проводится редукция к или аргументам, и другой, более содержательной части, в которой доказательство для этого ограниченного числа векторных аргументов осуществляется с помощью рассмотрений, сходных с примененными в доказательстве теоремы конгруэнтности в § 2. Формальную часть можно провести для любой группы, тогда как содержательная часть не может деградировать до столь общей механизированной процедуры и остается специфической для каждой отдельной группы. Как эта комбинация осуществляется — будет теперь показано для групп и