7. Доказательство первой основной теоремы для GL(n)

Для простоты рассмотрим инварианты зависящие от Одной переменной формы (1.1) заданной степени . В кольце всех полиномов, зависящих от переменных коэффициентов мы рассмотрим множество состоящее из всех инвариантов не сводящихся к постоянной (исключить постоянные весьма важно). Согласно заключительному замечанию предыдущего параграфа, - выделим конечное число инвариантов

не сводящихся к постоянной и таких, что каждый не сводящийся к постоянной инвариант будет линейной их комбинацией

с полиномиальными коэффициентами Предположим, что однородны, степеней Равенство (7.1) не нарушится, если вычеркнуть в все члены, степень которых отлична от так что мы можем считать коэффициенты в однородными, "правильных" степеней (Тогда при коэффициент будет нулем.)

Этот первый шаг имеет общую значимость и вовсе не ограничивается классическим случаем. Теперь мы попытаемся показать, что только что определенные инварианты образуют целый рациональный базис для всех инвариантов. Этот второй, шаг будет специфичен для группы Воспользуемся тем же приемом, который послужил для доказательства теоремы Грама. Подставим вместо в соотношение (7.1) абсолютные коварианты

определенные формулой (1.5). Для инварианта веса мы имеем

где обозначает определитель Поэтому

есть ковариант веса —1; следовательно, множители (и суть коварианты веса -процесс Кэли

превращает ковариант веса зависящий от контравариантных векторов в ковариант веса Следовательно, подвергнув раз -процессу, мы получим в результате соотношение

где есть постоянная

суть коварианты веса или, лучше, поскольку они уже не содержат переменных инварианты этого веса. Скоро мы убедимся в том, что Считая это важное обстоятельство уже доказанным, мы делим (7.3) на и в результате приходим к такой нормировке коэффициентов в -при которой онистановятся инвариантами.

Утверждение, что каждый инвариант степени выражается через инварианты доказывается теперь индукцией по Это утверждение тривиально для когда есть постоянная. Так как каждый из инвариантов по крайней мере, — степени 1, то инвариантные коэффициенты в (7.1), только что полученные нами с помощью -процесса, будут степени, низшей чем а если они выражаются через инварианты то это же верно и для

Чтобы показать, что 0, заметим, что есть форма с целыми коэффициентами от переменных и что точно такая же форма от дифференциальных операторов Но если

— любая форма степени и

то, как показывает простое вычисление,

Отсюда следует, что в действительности есть положительное целое число.

Рассматривая инварианты зависящие от нескольких обобщенных величин мы можем без какого бы то ни было ограничения общности считать, что сигнатуры этих обобщенных величин удовлетворяют условию Из доказательства обобщенной теоремы Грама ясно тогда, как ввести аналог ковариантов (1.6). Суммируем:

Теорема Относительные инварианты для полной линейной группы т. е. абсолютные инварианты для зависящие от нескольких обобщенных величин обладают конечным целым рациональным базисом.

Как было упомянуто в § 2 главы II, вторая основная теорема содержится в следующем общем алгебраическом утверждении: Теорема Все соотношения, связывающие заданные полиномы, являются алгебраическими следствиями конечного числа таких соотношений. Действительно, если

— заданные полиномы от любого числа неизвестных то соотношение есть такой полином от независимых переменных что

Соотношения, очевидно, образуют в кольце полиномов идеал, и этот идеал имеет конечный базис

Поле в котором мы оперируем, всюду здесь может быть любым полем характеристики 0.