4. Иррациональные методы

Символический метод на самом деле отнюдь не является единственным путем, на котором можно успешно достичь определения конечного целого рационального базиса для инвариантов в простых конкретных случаях. Иногда неожиданно быстро приводит к результату применение надлежащих иррациональных методов. В качестве примера докажем следующее предложение:

Теорема (VIII.4. А). Каждый инвариант квадратичной формы от переменных

выражается через дискриминант

Пусть с — значение заданного инварианта для единичной формы

Если инвариант веса А, то для формы (4.1), получающейся из (4.2) линейной подстановкой

с определителем будет равен

Так как

то получаем:

Пусть теперь произвольно заданные значений С ненулевым определителем После надлежащих квадратичных расширений основного поля форма с этими коэффициентами может быть преобразована в единичную форму. Поэтому (4.3) выполняется для любых таких значений следовательно, является тождеством. Принимая во внимание, что есть неприводимый полином от переменных заключаем из (4.3), что сам должен быть степенью с постоянным множителем, т. е. что четно и

Для доказательства неприводимости симметричного определителя

делаем индуктивное предположение, что неприводим. есть линейная функция переменной

Если бы распадался на два множителя, то один из них был бы степени 1 относительно а другой — степени 0:

не зависят от т. е.

Так как неприводим, то либо В, либо С должно быть постоянной, не зависящей ни от каких Поскольку второй случай не дает действительного разложения определителя мы можем принять, что откуда

Но простой пример

с

показывает, что не делится на в противоречие с (4.4).

К бинарной кубичной форме

легко применить аналогичный "иррациональный" способ. Положив решаем кубичное уравнение

Тем самым инвариант становится симметрическим полиномом от корней Из того факта, что единственным проективно инвариантным соотношением между тремя точками на прямой является совпадение, легко заключаем, что рассматриваемый инвариант должен быть степенью дискриминанта

с постоянным множителем. Единственным проективным инвариантом, зависящим от четырех точек прямой, является двойное их отношение

которое, однако, при перестановках трех корней принимает 6 значений

Это без особого труда приводит к полному списку ковариантов. Кроме самой формы получаем еще две другие формы, одной из которых, как легко проверить, является гессиан — формы а другой — якобиан форм и Четверка ковариантов связана одним соотношением

(сизигия). В руководствах по теории инвариантов эти резуль таты выводятся с помощью символического метода.