6. Характеры группы GL(n). Перечисление ковариантов

Начиная отсюда, мы делаем несущественное ограничение так что представление сигнатуры есть

является симметрическим полиномом от переменных и должен поэтому выражаться через элементарные симметрические функции, т. е. через коэффициенты характеристического полинома

Явное вычисление основывается на следующей лемме Коши: Лемма

Доказательство индукцией по Вычтем первую строку определителя, стоящего в левой части, из второй, строки:

Получим

Вычтем теперь первый столбец из второго, -ного; это превратит первую строку в судьбу же других строк можно прочесть из равенства

В результате определитель в (6.1) превратится в

что и дает требуемый результат:

Полагая находим:

Формула

показывает, что разложение правой части (6.2) по степеням переменных содержит одночлен

умноженный на коэффициент

Тем самым мы получаем для правой части сумму

распространенную на все неотрицательные целые удовлетворяющие неравенствам (5.6). Поэтому служит коэффициентом при (6.3) в разложении выражения

Вводя, как раньше, полиномы посредством разложения

приходим к формуле

Правая часть обозначает определитель, состоящий из строк, получающихся из выписанной путем последовательной замены I на

Теперь мы можем вернуться от унитарной к полной линейной группе. Характер представления группы соответствующего диаграмме очевидно, является полиномом от компонент общего элемента этой группы. То же представляет собой и правая часть равенства (6.5). Поэтому, согласно лемме это равенство выполняется для всех и по самой своей природе формула (6.5) сохраняет силу в любом поле характеристики 0.

Теорема (VII.6.B). Характер представления группы соответствующего разбиению задается формулой

где I в последовательных строках определителя в правой части следует заменить на

а суть коэффициенты ряда Тэйлора

Этот результат лишь слегка сложнее формулы (2.16) для характера представления Перейдем теперь к разложению последнего характера, при произвольном

Пусть произвольные целые числа, удовлетворяющие условию

и пусть числа I определены формулами

Равенство (6.5) побуждает нас исследовать определитель

сигнатуры При рассмотрении случая мы хотим свести длину наших символов к . Прежде всего, если

то имеем очевидное и простое сведение:

Если, однако, то я утверждаю, что

Действительно, запишем как полином формальной степени

(Разумеется, в обозначениях (2.5) мы имеем для для Рекуррентные соотношения

представляют собой лишь другую форму определяющего уравнения

Полагая в (6.9) мы получаем однородных линейных уравнений с ненулевым решением поэтому их определитель Должен быть равен нулю.

Все символы Длины линейно независимы, как это явствует из их выражения (5.15) через диагональную матрицу А:

Числа здесь уже не подчинены условию которое в произвольном поле лишено смысла, и должны рассматриваться скорее, как независимые переменные.

Правило приведения Для имеем

Символы длины линейно независимы.

Теперь займемся чисто комбинаторными рассуждениями, рассматривая при этом как независимые величины. Сигнатуры заданного ранга

можно расположить в лексикографическом порядке, начиная от высшей сигнатуры Определитель является агрегатом из членов

сигнатуры которых имеют один и тот же ранг Старшим членом служит и я утверждаю, что все остальные члены лексикографически выше. Поэтому линейные соотношения, связывающие с членами заданного ранга суть соотношения арифметически рекуррентного типа. Уравнения

связывающие две совокупности переменных индексы которых образуют упорядоченное множество, суть соотношения этого типа, если коэффициенты целые числа, удовлетворяющие условиям

Обратная подстановка будет тогда того же типа. Отсюда:

Теорема Будем рассматривать как независимые переменные. Тогда произведения предписанного полного ранга получаются из определителей посредством линейной подстановки арифметически рекуррентного типа:

Наше утверждение относительно рекуррентного характера рассматриваемых соотношений не так уж совсем тривиально, как это может показаться. Развертывая определитель (6.7) и записывая множители в каждом члене (6.10) в порядке получения их из последовательных строк, мы действительно видим, что выше чем т. е. что первая отличная от нуля разность положительна. Однако числа могут появляться и не в правильном их порядке Но, располагая их в. правильном порядке: убедиться в том, что не может быть ниже, чем

Выразим теперь снова наши с помощью формулы (6.4) через произвольную -строчную матрицу При

формула (6.11) выражает разложение представления на его неприводимые части поэтому коэффициенты в (6.11) должны быть После применения нашего правила приведения, эта формула имеет тот же смысл и при

Теорема (VII.6.E). В рекуррентной формуле (6.11) коэффициенты неотрицательны. Эта формула выражает разложение представления на его неприводимые части — непосредственно при и после надлежащего приведения по правилу при

Поэтому разложение (в известной степени) не зависит от размерности и мы можем вычислить кратность с которой входит каждая составляющая, с помощью простого комбинаторного приема, а именно, по формулам (6.11), получаемым путем обращения уравнений (6.7), определяющих через произведения

Тот выражаемый нашей формулой

факт, что представление содержит неприводимую компоненту раз, означает в то же время существование стольких же линейно независимых ковариантных величин типа зависящих от векторных аргументов в степенях соответственно Мы можем расположить кратности в (бесконечную) матрицу, где обозначают строки, а столбцы. Желая для заданного типа определить число ковариантных величин одновременно для всех возможных степеней мы должны вычислить столбец -матрицы с индексом тогда как разложение представления требует знания ее строки с индексом Более явным путем, чем при помощи нашего комбинаторного приема, обе задачи можно решить посредством производящих функций. Начнем с первого вопроса, и будем поэтому разыскивать "производящую функцию столбцов"

— формальный степенной ряд по вспомогательным переменным

Рассмотрим, при функцию

и выведем сперва простую рекуррентную формулу для перехода Умножим в определителе

стоящем в числителе функции первые столбцов на коэффициенты введенные в (6.8), и прибавим результаты к последнему столбцу. Превратив тем самым последний столбец в развернем затем определитель по этому столбцу, и получим (при

где справа стоит знакопеременная сумма из членов, в которых последовательно отсутствуют Теперь заметим, что при

поэтому

Тем самым мы нашли разложение по характерам

где коэффициенты для каждой сигнатуры подчинены тому же рекуррентному правилу (6.14), что и и при приводятся к

Легко проверить, что выражения

удовлетворяют обоим условиям. Следовательно, эти выражения являются искомыми коэффициентами в (6.15). Производящие функции суть, по определению, не зависящие от А коэффициенты в выражении

и потому совпадают с соответствующими отношениями Так как выражение косо-симметрично относительно его аргументов то отношение является полиномом, очевидно, степени

Теорема Производящая функция (6,13), дающая числа линейно независимых ковариантов типа зависящих от заданного числа векторных аргументов во всех возможных степенях является частным от деления антисимметрического полинома (6.16) на разностное произведение

Мы пришли к весьма существенной и изящной формуле. В частности, при она дает числа линейно независимых векторных инвариантов заданного веса и любых степеней Производящей функцией для инвариантов веса зависящих от векторов оказывается

Другими словами: если степени не удовлетворяют условию то нет вообще никакого такого инварианта, а при выполнении этого условия имеется точно один инвариант (а именно, степень компонентного определителя Тем самым наша формула доставляет доказательство первой основной теоремы теории инвариантов для векторов, откуда с помощью общего тождества Капелли получается и общий случай. Согласно этой теореме, линейный базис для инвариантов от векторов с заданными степенями образуют все возможные "одночлены", т. е. все произведения компонентных определителей, содержащие аргументы соответственно раз. Однако эти одночлены будут, вообще говоря, связаны линейными соотношениями, устанавлираемыми второй основной теоремой. Тем не менее, она не дает возможности предсказать, сколько точно одночленов, при наличии этих соотношений, останутся линейно независимыми. Таким образом, две

основные теоремы, с одной стороны, и наша теперешняя формула,— с другой стороны, являются, так сказать, известными нам концами цепи, промежуточные звенья которой остаются во мраке

Производящая функция столбцов была получена из выражений (6.5) для характеров. Производящая функция строк сразу выводится из (6.12) с помощью выражений (5.15). Рассматривая как вспомогательных переменных, будем для ясности пользоваться обозначением для симметрических функций от этих определяемых разложением

Имеем тогда

и полином от неопределенных стоящий в левой части, действительно является искомой производящей функцией строк, в том смысле, что определяемое служит коэффициентом этого косо-симметрического полинома при

В последующих случаях — симплектической и ортогональной групп — мы будем рассматривать только производящие функции столбцов, опуская расположения в строки, равно как и комбинаторный способ (с неопределенными и последующим "правилом приведения").

Наши результаты почти без изменения применимы к группе Ограничение унимодулярными преобразованиями имеет своим следствием то, что характеры (5.15) зависят лишь от разностей чисел т. е. что сигнатуры вида

должны рассматриваться как одна и та же сигнатура.