Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6. Характеры группы GL(n). Перечисление ковариантовНачиная отсюда, мы делаем несущественное ограничение
Явное вычисление основывается на следующей лемме Коши: Лемма
Доказательство индукцией по
Получим
Вычтем теперь первый столбец из второго,
В результате определитель в (6.1) превратится в
что и дает требуемый результат:
Полагая
Формула
показывает, что разложение правой части (6.2) по степеням переменных
умноженный на коэффициент
Тем самым мы получаем для правой части сумму
распространенную на все неотрицательные целые
Вводя, как раньше, полиномы
приходим к формуле
Правая часть обозначает определитель, состоящий из Теперь мы можем вернуться от унитарной к полной линейной группе. Характер Теорема (VII.6.B). Характер
где I в последовательных строках определителя в правой части следует заменить на
а
Этот результат лишь слегка сложнее формулы (2.16) для характера представления Пусть
и пусть числа I определены формулами
Равенство (6.5) побуждает нас исследовать определитель
сигнатуры
Если, однако,
Действительно, запишем
(Разумеется, в обозначениях (2.5) мы имеем
представляют собой лишь другую форму определяющего уравнения
Полагая в (6.9) Все символы
Числа Правило приведения
Символы Теперь займемся чисто комбинаторными рассуждениями, рассматривая при этом
можно расположить в лексикографическом порядке, начиная от высшей сигнатуры
сигнатуры которых
связывающие две совокупности переменных
Обратная подстановка будет тогда того же типа. Отсюда: Теорема
Наше утверждение относительно рекуррентного характера рассматриваемых соотношений не так уж совсем тривиально, как это может показаться. Развертывая определитель (6.7) и записывая множители в каждом члене (6.10) в порядке получения их из последовательных строк, мы действительно видим, что Выразим теперь снова наши формула (6.11) выражает разложение представления Теорема (VII.6.E). В рекуррентной формуле (6.11) коэффициенты Поэтому разложение Тот выражаемый нашей формулой
факт, что представление
— формальный степенной ряд по Рассмотрим, при
и выведем сперва простую рекуррентную формулу для перехода
стоящем в числителе функции
где справа стоит знакопеременная сумма из
поэтому
Тем самым мы нашли разложение
где коэффициенты
Легко проверить, что выражения
удовлетворяют обоим условиям. Следовательно, эти выражения
и потому совпадают с соответствующими отношениями Так как выражение Теорема Мы пришли к весьма существенной и изящной формуле. В частности, при
Другими словами: если степени не удовлетворяют условию основные теоремы, с одной стороны, и наша теперешняя формула,— с другой стороны, являются, так сказать, известными нам концами цепи, промежуточные звенья которой остаются во мраке Производящая функция столбцов была получена из выражений (6.5) для характеров. Производящая функция строк сразу выводится из (6.12) с помощью выражений (5.15). Рассматривая
Имеем тогда
и полином от неопределенных
В последующих случаях — симплектической и ортогональной групп — мы будем рассматривать только производящие функции столбцов, опуская расположения в строки, равно как и комбинаторный способ (с неопределенными Наши результаты почти без изменения применимы к группе
должны рассматриваться как одна и та же сигнатура.
|
1 |
Оглавление
|