6. Теорема Гильберта о полиномиальных идеалах

Как было указано в § 2 главы II, Гильберт положил в основу доказательства основных теорем теории инвариантов общее предложение относительно полиномиальных идеалов, являющееся одним из простейших и важнейших во всей алгебре. Рассмотрим кольцо в котором каждый идеал имеет конечный базис. Примерами таких колец могут служить поле или кольцо обыкновенных целых чисел. Теорема Гильберта утверждает, что это свойство не теряется при присоединении неизвестной.

Теорема (VIII.6.А). Если каждый идеал в кольце имеет конечный базис, то это же верно и для кольца

В этой модернизированной обобщенной форме предложение Гильберта сразу подсказывает и те шаги, которые следует

предпринять для его доказательства. За самим доказательством я отошлю читателя к "Современной алгебре ван дер Вардена. Повторное применение распространяет эту теорему на кольцо полиномов над от любого числа неизвестных Специализируя либо как поле либо как кольцо всех обыкновенных целых чисел, получаем два предложения, сформулированных самим Гильбертом;

Теорема (VIII.6.В). Если поле, то каждый идеал в кольце имеет конечный базис. То же остается верным, если заменить кольцом обыкновенных целых чисел.

Возьмем любое множество чисел а из кольца обладающего тем свойством, что каждый идеал в нем имеет конечный базис. Совокупность всех чисел вида

где -любая конечная последовательность элементов из произвольные элементы из представляет собой идеал наименьший идеал, содержащий множество Определив в конечный базис и выразив каждый из его элементов в форме (6.1), получим конечное множество чисел из (3) такое, что каждое число из будет иметь вид

(Однако, поскольку не предполагается идеалом, вовсе не обязательно, чтобы, обратно, каждое число этого вида принадлежало .)