11. Унитарный прием

Определение представлений инфинитезимальных групп для классических групп

есть алгебраическая проблема, в независимое решение которой Э. Картан внес решающий вклад. Естественно ожидать, что в общем случае она более трудна, чем для простейшего случая представлений степени 1, рассмотренного в предыдущем параграфе. Однако наша трактовка представлений унитарно ограниченных групп с помощью метода интегрирования дает нам возможность предсказать результаты, по крайней мере для полей

Возьмем группу Мы скоро увидим, что группа всех унимодулярных унитарных преобразований односвязна. Поэтому любое неприводимое представление ее инфинитезимальной группы приводит к однозначному непрерывному представлению самой группы которое должно быть эквивалентно одному из представлений

построенных нами в главе теорему

Сравним теперь с алгебрами Ли всех комплексных и всех вещественных матриц с нулевым следом. обе получаются из наложением требования

вещественности на некоторые параметры. Но эти ограничения несущественны ни для какой линейной задачи. Мы столкнулись с частным случаем следующей общей ситуации.

Пусть нам задана алгебра Ли а с базисом над полем Расширим это поле до некоторого поля а превращается тогда в алгебру Ли над К, элементами которой служат все линейные комбинации

с коэффициентами изменяющимися в К. (В нашем случае Пусть

- две алгебры Ли над совпадающие после расширения; Эта ситуация возникает, если выражаются через

с коэффициентами из Мы будем тогда иметь

где параметры связаны друг с другом подстановкой

Если структура алгебры а описывается таблицей умножения для элементов базиса:

то преобразование (11.3) должно быть таково, чтобы коэффициенты а в

также лежали в Любому представлению

алгебры а над К соответствует представление алгебры а над К:

и обратно, так что оба представления совпадают после расширения

В нашем случае мы заключаем, что каждое представление инфинитезимальной группы вполне приводимо и что никаких других неприводимых представлений, кроме соответствующих представлениям (11.1), нет. Отсюда путем интегрирования вытекает:

Теорема (VIII. 11.А). Каждое представление Ли группы всех вещественных унимодулярных преобразований вполне приводимо. Никаких других неприводимых таких представлений, кроме рациональных, описанных ранее как "обобщенг величины", нет.

Более сложным является вопрос о выводе всех представлений над К алгебры Ли из таких же представлений алгебры а, когда а рассматривается как алгебра Ли над Чтобы держаться ближе к интересующему нас здесь случаю, предположим, что -квадратичное поле над с определяющим квадратным уравнением

Каждое число из К,

имеет своими -компонентами" и своим сопряженным Рассматриваемая как алгебра Ли над есть алгебра рзнга с базисными элементами . В заданном -представлении матрица, представляющая элемент (11.2), является, линейной комбинацией -компонент коэффициентов или линейной комбинацией величин

Выставляя условие

находим, что

должны являться перестановочными друг с другом -представлениями алгебры

Предположим, что каждое -представление алгебры а разбивается абсолютно неприводимые составляющие. Тогда пары

перестановочных представлений (11.4) должны разбиваться на блоки вида

где

и

абсолютно неприводимы; единичные матрицы надлежащих степеней. Поэтому наше представление алгебры а разбивается на части вида

Обертывающая (ассоциативная) алгебра линейной совокупности матриц является полной матричной алгеброй; то же верно и для Обертывающая алгебра совокупности матриц (11.5) содержит каждую матрицу вида

а потому и всякую матрицу вида Поэтому как прямое произведение двух полных матричных алгебр она сама есть полная матричная алгебра, и каждое представление (11.5) абсолютно неприводимо.

Возвращаясь к нашему частному случаю и убеждаясь из дифференциального уравнения

в том, что (11.5) описывает кронекеровское произведение в терминах инфинитезимальных подстановок, мы можем выдвинуть следующее утверждение

Теорема Каждое представление Ли комплексной уйимодулярной группы вполне приводимо. Неприводимые ее части имеют вид

где два неприводимых представления типа (11.1).

Рассуждение, приведшее к теоремам проходит и для симплектической группы, так как унитарно ограниченная также односвязна. Однако оно необходимо должно терять силу для Представлением

инфинитезимальной группы для служит просто любая индивидуальная матрица, а среди матриц имеются и не являющиеся вполне приводимыми, например, матрица

Этого не могло бы случиться, если бы универсальное накрывающее многообразие для было компактно. В действительности, не односвязна, и ее универсальное накрывающее многообразие состоит из бесконечного множества листов.

И группа вещественных собственно ортогональных преобразований не односвязна, однако ее универсальное накрывающее многообразие состоит лишь из двух листов. Поэтому здесь снова будет иметь место полная приводимость, хотя и следует ожидать существования целой серии представлений инфинитезимальной группы приводящих к двузначным представлениям самой группы. Можно почти с уверенностью предсказать, каковы будут характеры этих двузначных представлений: для них также будут верны наши старые формулы типа (V1I.9.10), но в случае нужно будет кроме систем полуцелых« чисел допустить и системы целых чисел в случае же будем иметь обратное положение Формула (11.6), где либо два однозначных, либо два двузначных представления и, кроме того, надлежащим образом учитывается, что ортогональная группа состоит из двух кусков, дает все однозначные неприводимые представления комплексной ортогональной группы. Результаты, полученные для вещественной ортогональной группы, остаются в силе и для вещественных преобразований, оставляющих инвариантной невырожденную квадратичную форму с любой сигнатурой.

Предположения дифференцируемости, указываемые в теоремах упоминанием имени Ли, можно устранить путем замены каждого из базисных инфинитезимальных преобразований группы порождаемой им однопараметрической группой. И. Шур [10] выполнил это для SL(n), Э. Мор для Sp(n). В случае двусвязность вызывает некоторые трудности, помешавшие Р. Брауэру, в его трактовке группы по описанному образцу, полностью изгнать дух топологии 1131. Другим путем к достижению тех же целей является обращение к общим теоремам о "лиевской" природе линейных групп