Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 11. Унитарный приемОпределение представлений инфинитезимальных групп для классических групп
есть алгебраическая проблема, в независимое решение которой Э. Картан внес решающий вклад. Естественно ожидать, что в общем случае она более трудна, чем для простейшего случая представлений степени 1, рассмотренного в предыдущем параграфе. Однако наша трактовка представлений унитарно ограниченных групп с помощью метода интегрирования дает нам возможность предсказать результаты, по крайней мере для полей Возьмем группу
построенных нами в главе Сравним теперь вещественности на некоторые параметры. Но эти ограничения несущественны ни для какой линейной задачи. Мы столкнулись с частным случаем следующей общей ситуации. Пусть нам задана алгебра Ли а с базисом
с коэффициентами изменяющимися в К. (В нашем случае
- две алгебры Ли над
с коэффициентами из
где параметры
Если структура алгебры а описывается таблицей умножения для элементов базиса:
то преобразование (11.3) должно быть таково, чтобы коэффициенты а в
также лежали в
алгебры а над К соответствует представление алгебры а над К:
и обратно, так что оба представления совпадают после расширения В нашем случае мы заключаем, что каждое представление инфинитезимальной группы Теорема (VIII. 11.А). Каждое представление Ли группы всех вещественных унимодулярных преобразований вполне приводимо. Никаких других неприводимых таких представлений, кроме рациональных, описанных ранее как "обобщенг Более сложным является вопрос о выводе всех представлений над К алгебры Ли
Каждое число из К,
имеет своими
Выставляя условие
находим, что
должны являться перестановочными друг с другом
Предположим, что каждое перестановочных представлений (11.4) должны разбиваться на блоки вида
где
и
абсолютно неприводимы;
Обертывающая (ассоциативная) алгебра линейной совокупности матриц
а потому и всякую матрицу вида Возвращаясь к нашему частному случаю и убеждаясь из дифференциального уравнения
в том, что (11.5) описывает кронекеровское произведение в терминах инфинитезимальных подстановок, мы можем выдвинуть следующее утверждение Теорема
где Рассуждение, приведшее к теоремам инфинитезимальной группы
Этого не могло бы случиться, если бы универсальное накрывающее многообразие для И группа вещественных собственно ортогональных преобразований не односвязна, однако ее универсальное накрывающее многообразие состоит лишь из двух листов. Поэтому здесь снова будет иметь место полная приводимость, хотя и следует ожидать существования целой серии представлений инфинитезимальной группы Предположения дифференцируемости, указываемые в теоремах
|
1 |
Оглавление
|