4. Разложение тензорного пространства

Как и в § 6 главы 111, мы обозначим теперь через алгебру всех бисимметричных линейных преобразований

в тензорном пространстве ранга

Теорема расщепляется на неприводимые инвариантные подпространства относительно алгебры в которых индуцирует представления Всякое инвариантное подпространство пространства разлиается на неприводимые части, каждая из которых подобна одному из подпространств .

Более обще: всякое представление алгебры вполне приводимо, всякое неприводимое представление эквивалентно одному из

Первую часть этой теоремы мы не только доказали [теорема но и дали теперь совершенно элементарный способ построения неприводимых подпространств, на которые расщепляется Тензоры каждой из этих частей можно получить применением некоторого симметризатора Юнга к совершенно произвольным тензорам. Вторая часть теоремы следует из общей теоремы

При применении метода раздела В главы III нужно знать двусторонне инвариантное подпространство пространства являющееся линейной оболочкой всех величин с коэффициентами

произвольный тензор, а имеют любые значения от 1 до ). Для этой цели полезно заметить следующее:

Лемма (IV.4.B). Если диаграмма симметризатора Юнга с содержит более строк, то для любого тензора . В противном же случае существует тензор такой, что

Доказательство. антисимметричен по аргументам из первого столбца диаграммы Следовательно, если длина этого столбца превосходит то наш тензор должен обратиться в нуль.

Если, напротив, состоит из строк, то введем тензор все компоненты которого равны нулю, кроме компоненты

Аргументы расположены здесь в соответствии с диаграммой Этот тензор симметричен по аргументам из каждой строки; применение к процесса с вызывает лишь альтернирование относительно столбцов. Поэтому есть, с точностью до численного ненулевого множителя, тот тензор, который для всякой комбинации значений аргументов, получающейся из комбинации в (4.1) с помощью подстановки столбцов, имеет компоненту все же остальные его компоненты равны нулю.

Эта лемма показывает, что в тензорном пространстве играют роль лишь разбиения

на слагаемых, тогда как в анализ симметрической группы входили произвольные разбиения. Разница исчезает в том и только в том случае, когда Допустимость равенства в (4.2) позволяет нам в формулировке нашего ограничения говорить о разбиениях не на а на слагаемых.

В силу определения (3.8), если соответствует одной из диаграмм, исключенных указанным ограничением. Поэтому

где сумма распространена лишь на диаграммы, содержащие не более строк. Для каждого х из имеем в том же смысле

или

где сумма

распространена лишь на указанные диаграммы, лежит в центре алгебры Заметим, что и потому так как в симметрической группе сопряжено с (имеет циклы той же длины, что и Мы утверждаем, что само лежит в и потому является там единичным элементом. Для доказательства рассуждаем следующим образом: с, соответствующее диаграмме, содержащей не более строк, лежит в Действительно, так как лево-инвариантно, то совокупность всех величин вида где х пробегает есть (лево-) инвариантное подпространство, содержащееся в пространстве всех величин получающемся, когда х пробегает все Поскольку неприводимо, как его инвариантная часть, есть либо 0, либо все Но первая возможность исключена предыдущей леммой, и, следовательно, Так как как лево-, так и право-инвариантно, то содержится в Это показывает, что с лежит в поскольку с с лежит в Снова используя двустороннюю инвариантность заключаем, что принадлежит . А так как это верна и для любого другого члена суммы (4.4), то также принадлежит

Теорема (IV.4.C). Сумма

распространенная на все диаграммы, содержащие не более строк, есть единица в

Таким образом, мы можем уточнить утверждение теоремы следующим образом:

Теорема Если с — симметризатор Юнга, соответствующий разбиению (4.2) на слагаемых, то тензоры образуют ненулевое неприводимое инвариантное подпространство тензорного пространства В разложение на неприводимые части эта составляющая

входит раз, где размерность подпространства из образованного всеми величинами вида при этом

Различные диаграммы порождают неэквивалентные подпространства. Каждое неприводимое инвариантное подпространство пространства подобно какому-нибудь из пространств

Уже значительно раньше было отмечено, что как симметричные, так и антисимметричные тензоры образуют неприводимые инвариантные подпространства, из которых, правда, последнее нулевое, если Они отвечают, соответственно, разбиениям

Нам еще надлежит вставить краеугольный камень всего этого здания, доказав, что есть обертывающая алгебра группы всех преобразований

индуцируемых в тензорном пространстве невырожденными линейными преобразованиями основного векторного пространства. Именно это замечание дало первый толчок всему ходу наших исследований, начиная с раздела В главы III. Однако с той же затратой труда мы можем достичь даже большего, подвергнув одновременному рассмотрению все тензорные пространства любого ранга Введем алгебру элементы которой

составлены из произвольных бисимметричных матриц

Элемент индуцируемый невырожденным преобразованием векторного пространства, определяется как

Теорема есть обёртывающая алгебра группы элементов индуцируемых всеми невырожденными линейными преобразованиями А векторного пространства.

Доказательство. Если бы обертывающая алгебра группы элементов была на самом деле уже, чем , то существовало бы линейное соотношение

с фиксированными "бисимметричными" коэффициентами у, выполняющееся для всех элементов из или всех элементов (4.6), т. е. полином от переменных

обращался бы в нуль для всех значений переменных, удовлетворяющих алгебраическому неравенству

Но тогда он тождественно равнялся бы нулю. Если рассматривать каждую пару как один индекс то коэффициенты у этого полинома будут записаны в симметричной форме. Следовательно, все эти коэффициенты у должны быть равны нулю, что, однако, противоречит нашему предположению о существовании нетривиального соотношения (4.7).

В качестве следствия нашего последнего предложения мы можем высказать следующее утверждение [4]:

Теорема Предложения справедливы и в том случае, если инвариантность, неприводимость и т. д. относить к группе преобразований, индуцируемых в тензорном пространстве группой векторного пространства.

Каждое представление группы где элементами в служат формы степени относительно элементов из А, вполне приводимо, а его неприводимые составляющие эквивалентны тем которые получаются при разложении (Если элементами в служат полиномы степени то полная приводимость также имеет место, а неприводимые составляющие эквивалентны тем Для которых

Никакие два неприводимые представления группы получающиеся из тензорных пространств различного ранга, не эквивалентны.

Разумеется, здесь обозначает то представление полной линейной группы, полем действия которого служит тензорное множество

Мы должны привести доказательство лишь последнего замечания нашей теоремы. Пусть рассматриваемые ранги будут Согласно теореме можно рассматривать как поле действия всех

из Пусть тензоры рангов пробегают соответственно неприводимые инвариантные подпространства пространств и предположим, что существует взаимно однозначное отображение подобия Тоже самое отображение должно сопоставлять Но среди элементов имеется такой, в котором есть единичная матрица, а Пользуясь им, получаем, что каждому тензору соответствует нуль. Следовательно, оба подпространства должны быть нулевыми.