4. Элемент объема на унитарной группе
Изучим несколько ближе основное равенство
(теорема
выполняющееся для элементов А унитарной группы. Прежде всего, из него вытекает
Теорема
Унитарная группа является связным компактным многообразием; она состоит из одного куска.
Действительно, фиксируя в
заменим в
углы
на
где
вещественный, параметр. Полученный в результате элемент
при изменении
от
до 1 будет изменяться от
до заданного
Диагональные элементы
образуют
-параметрическую коммутативную подгруппу А унитарной группы. При применении в качестве параметров углов
комбинация элементов
дает элемент
В формуле (4.1) общее
зависит от
вещественных параметров,
параметров. На этом основании можно было бы ожидать, что получающееся в результате А, (4.1), будет зависеть от
параметров, тогда как на самом деле число параметров равно лишь
Как разрешается это кажущееся противоречие? В формуле
можно, не меняя результата А, заменить на
где
-произвольный элемент из А. Поэтому удобно отождествлять такие два
которые право-эквивалентны по
или принадлежат одному и тому же правому смежному классу по подгруппе А, т. е. для которых
принадлежит А. Этот процесс отождествления превращает
-мерное многообразие
в некоторое
-мерное
как элемент из
будет обозначаться через
Пользуясь наглядной геометрической терминологией, мы будем говорить, что два элемента
правоэквивалентные
лежат на одной вертикали.
Переходу от элемента
к близкому элементу
мы отнесли инфинитезимальный элемент
Изучая тот же процесс на
мы вправе заменить
где второй множитель с вещественными бесконечно малыми параметрами
есть любой инфинитезимальный элемент из А,
Таким образом,
заменяется на
Так как диагональные компоненты
в
-чисто мнимые, то им можно приписать, надлежащим образом выбирая
любые наперед данные значения; "боковые" же (т. е. не диагональные) компоненты вовсе не зависят от произвола в выборе
. В частности, можно выбрать
в этом случае мы будем называть № горизонтальным переходом от вертикали
к бесконечно близкой вертикали
на высоте
Параллелепипедальный пучок, образованный вертикалями из
натянутыми на
линейных элементов при
имеет поперечное сечение, определяемое
такими горизонталями
при
. В качестве объема этого поперечного сечения мы примем абсолютное значение определителя боковых компонент
этих
Образуя поперечное сечение того же пучка на другой высоте, мы должны заменить
соответственно, на
где
— произвольный элемент из А. Поэтому
заменяется на
с компонентами
Если
горизонтально, то горизонтально и
Линейная подстановка
боковых компонент
вследствие взаимного сокращения множителей
соответствующих каждым
двум парам
и
унимодулярна. Поэтому объем поперечного сечения не зависит от высоты, и тем самым мы ввели на
-мерном многообразии
приемлемую меру объема.
Верно ли, что никакое
не являющееся право-эквивалентным первоначальному по
не приводит в (4.1) к тому же
При замене
на
матрица А останется неизменной в том и только в том случае, если
перестановочна с
Поэтому, если все собственные значения различны, то
должна быть диагональной матрицей, и наш вопрос разрешается в утвердительном смысле. Назовем элемент
которого совпадает пара собственных значений
например
сингулярным. В
-мерной унитарной группе сингулярные элементы образуют многообразие, меньшее не на одно, как можно было бы ожидать, а на три измерения. Действительно, нашему
в этом случае разрешается иметь вид
и так как двумерное унитарное преобразование содержит 4 параметра, то
будет зависеть от
вещественных параметров. Тем самым число существенных параметровв
(по модулю подгруппы этих
приводится к
тогда как общее
зависит от
параметров. Сумма равна
В § 1 было дано прямое алгебраическое доказательство
равенства (4.1). Можно воспользоваться и идеей аналитического доказательства по непрерывности: добиваться достижения каждой данной инфинитезимальной вариации матрицы А, давая соответствующие приращения матрицам
. В более общих случаях, в теории полупростых групп, этот способ навязывается необходимостью; но даже и в нашем случае стбит провести соответствующее вычисление. Имеем: из
следует
Умножаем левую часть (слева) на
и правую — на равное ему
Для
получаем формулы:
Если считать
заданным, то первая система уравнений однозначно определяет приращения
а вторая — приращения
ковых компонент
тогда как диагональные компоненты
остаются свободными. Эти утверждения, опирающиеся на предположение, что А не сингулярна, находятся в полном согласии с нашими предшествующими рассмотрениями. Вариируя А, можно обойти сингулярные точки, образующие многообразие, на три измерения меньшее. Замечая, что переход
есть квази-унимодулярное преобразование, выводим из (4.3) следующую формулу для элемента объема
в котором изменяется (4.1), когда
в многообразии
изменяется в элементе объема
а углы
изменяются между
обозначают здесь объемы соответствующих элементов. Множители
входят сопряженными парами: 1 и
и, объединяя их, получаем:
Теорема
Если А определено через
формулой (4.1), то объемы соответствующих инфинитезимальных частей связаны формулой
где
есть разностное произведение
величин
Интегрируя по всему
и надлежащим образом выбирая единицу измерения, приходим к следующему фундаментальному выражению для плотности классов в пространстве