4. Элемент объема на унитарной группе

Изучим несколько ближе основное равенство

(теорема выполняющееся для элементов А унитарной группы. Прежде всего, из него вытекает

Теорема Унитарная группа является связным компактным многообразием; она состоит из одного куска.

Действительно, фиксируя в заменим в углы на где вещественный, параметр. Полученный в результате элемент при изменении от до 1 будет изменяться от до заданного

Диагональные элементы образуют -параметрическую коммутативную подгруппу А унитарной группы. При применении в качестве параметров углов комбинация элементов дает элемент

В формуле (4.1) общее зависит от вещественных параметров, параметров. На этом основании можно было бы ожидать, что получающееся в результате А, (4.1), будет зависеть от параметров, тогда как на самом деле число параметров равно лишь Как разрешается это кажущееся противоречие? В формуле можно, не меняя результата А, заменить на где -произвольный элемент из А. Поэтому удобно отождествлять такие два которые право-эквивалентны по или принадлежат одному и тому же правому смежному классу по подгруппе А, т. е. для которых принадлежит А. Этот процесс отождествления превращает -мерное многообразие в некоторое -мерное как элемент из будет обозначаться через Пользуясь наглядной геометрической терминологией, мы будем говорить, что два элемента правоэквивалентные лежат на одной вертикали.

Переходу от элемента к близкому элементу мы отнесли инфинитезимальный элемент Изучая тот же процесс на мы вправе заменить

где второй множитель с вещественными бесконечно малыми параметрами есть любой инфинитезимальный элемент из А,

Таким образом, заменяется на

Так как диагональные компоненты в -чисто мнимые, то им можно приписать, надлежащим образом выбирая любые наперед данные значения; "боковые" же (т. е. не диагональные) компоненты вовсе не зависят от произвола в выборе . В частности, можно выбрать в этом случае мы будем называть № горизонтальным переходом от вертикали к бесконечно близкой вертикали на высоте Параллелепипедальный пучок, образованный вертикалями из натянутыми на линейных элементов при имеет поперечное сечение, определяемое такими горизонталями при . В качестве объема этого поперечного сечения мы примем абсолютное значение определителя боковых компонент этих Образуя поперечное сечение того же пучка на другой высоте, мы должны заменить соответственно, на

где

— произвольный элемент из А. Поэтому заменяется на с компонентами

Если горизонтально, то горизонтально и Линейная подстановка боковых компонент вследствие взаимного сокращения множителей соответствующих каждым

двум парам и унимодулярна. Поэтому объем поперечного сечения не зависит от высоты, и тем самым мы ввели на -мерном многообразии приемлемую меру объема.

Верно ли, что никакое не являющееся право-эквивалентным первоначальному по не приводит в (4.1) к тому же При замене на матрица А останется неизменной в том и только в том случае, если перестановочна с

Поэтому, если все собственные значения различны, то должна быть диагональной матрицей, и наш вопрос разрешается в утвердительном смысле. Назовем элемент которого совпадает пара собственных значений например сингулярным. В -мерной унитарной группе сингулярные элементы образуют многообразие, меньшее не на одно, как можно было бы ожидать, а на три измерения. Действительно, нашему в этом случае разрешается иметь вид

и так как двумерное унитарное преобразование содержит 4 параметра, то будет зависеть от вещественных параметров. Тем самым число существенных параметровв (по модулю подгруппы этих приводится к тогда как общее зависит от параметров. Сумма равна

В § 1 было дано прямое алгебраическое доказательство равенства (4.1). Можно воспользоваться и идеей аналитического доказательства по непрерывности: добиваться достижения каждой данной инфинитезимальной вариации матрицы А, давая соответствующие приращения матрицам . В более общих случаях, в теории полупростых групп, этот способ навязывается необходимостью; но даже и в нашем случае стбит провести соответствующее вычисление. Имеем: из

следует

Умножаем левую часть (слева) на и правую — на равное ему

Для

получаем формулы:

Если считать заданным, то первая система уравнений однозначно определяет приращения а вторая — приращения ковых компонент тогда как диагональные компоненты остаются свободными. Эти утверждения, опирающиеся на предположение, что А не сингулярна, находятся в полном согласии с нашими предшествующими рассмотрениями. Вариируя А, можно обойти сингулярные точки, образующие многообразие, на три измерения меньшее. Замечая, что переход

есть квази-унимодулярное преобразование, выводим из (4.3) следующую формулу для элемента объема в котором изменяется (4.1), когда в многообразии изменяется в элементе объема а углы изменяются между

обозначают здесь объемы соответствующих элементов. Множители

входят сопряженными парами: 1 и

и, объединяя их, получаем:

Теорема Если А определено через формулой (4.1), то объемы соответствующих инфинитезимальных частей связаны формулой

где

есть разностное произведение величин

Интегрируя по всему и надлежащим образом выбирая единицу измерения, приходим к следующему фундаментальному выражению для плотности классов в пространстве

Теорема Объем той части унитарной группы, у элементов которой углы заключены между дается выражением

После всего предшествующего, эта формула не является слишком неожиданной. Сингулярные элементы, для которых составляют многообразие, меньшее на три измерения; таким образом, они подобны центру полярной системы координат в трехмерном пространстве. Формула для элемента объема трехмерного пространства в полярных координатах содержит множитель второго порядка малости в начале. На том же основании плотность здесь должна быть бесконечно малой второго порядка относительно т. е. должна содержать множитель То же верно и для всех других пар есть простейшее из возможных выражений, удовлетворяющих этому требованию.

Каждая функция классов на унитарной группе является симметрической функцией от углов периодической с периодом 1 относительно всех аргументов. Наш результат допускает такую новую формулировку:

Теорема Среднее значение любой функции классов задается выражением

где