А. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

3. Первый пример: симметрическая группа

После долгого периода планирования нашего путешествия настал, наконец, момент отправления; мы приступаем теперь к систематическому исследованию векторных инвариантов. Первой нашей заботой будет первая основная теорема, которую мы докажем прямым построением конечного целого рационального базиса для наиболее важных групп. В этом параграфе мы изучим группу всех подстановок компонент общего вектора х.

Из определения поляризации (глава I, § 1) непосредственно следует, что она переводит инвариант в инвариант, какая бы группа линейных преобразований нашего -мерного векторного пространства ни была положена в основу. Более подробно, если форма, зависящая от нескольких векторов и инвариантная относительно когредиентного их преобразования любым элементом из то поляризованная форма также является инвариантом; здесь а есть новый вектор, преобразующийся когредиентно с остальными. На этом замечании основывается важность поляризации для теории инвариантов.

В § 2 упоминалась фундаментальная алгебраическая теорема, гласящая, что элементарные симметрические функции (2.2) образуют целый рациональный базис для инвариантов симметрической группы зависящих от одного вектора Нашей задачей теперь будет решение той же проблемы для инвариантов зависящих от произвольного чисда независимых векторов Сразу

напрашивается предположение, что полная поляризация функций (2.2) даст полную таблицу типовых базисных инвариантов. Приписав к множители мы придадим поляризованной таблице (2.2) вид

Наше утверждение означает (§ 2), что для получения целого рационального базиса для инвариантов зависящих от векторных аргументов достаточно подставить в формы (3.1) эти аргументы вместо "типовых" аргументов во всех возможных комбинациях (включая повторения):

Чтобы избежать нагромождения индексов, обозначим рассматриваемые векторных аргументов через х, у,..., z. Доказательство проведем путем полной индукции по размерности Для этой цели будем рассматривать каждый вектор как комбинацию числа -мерным вёктором Элементарные симметрические функции от -мерных векторов (неполяризованные и поляризованные) будут обозначаться через Каждая форма является агрегатом (линейной комбинацией) членов

Если симметрична, то симметричны также согласно нашему предположению о справедливости теоремы для измерений, выражаются (целым рациональным образом) через поляризованные элементарные симметрические формы Таким образом, заданная форма представляется в виде агрегата из членов

где обозначает произведение множителей зависящих, каждый, вообще говоря, от различных аргументов.

Воспользуемся теперь равенствами (2.6) в их поляризованной форме

и выразим отсюда через и переменные Этим способом мы последовательно исключим величины

заменив их на выразится тогда в виде агрегата из членов

Вторая часть такого члена симметрична, даже если первая компонента каждого из векторов х заменяется, его компонентами Так как функция симметрична относительно всех компонент, то член (3.2) можно заменить на

Но стоящая здесь сумма получается путем последовательной поляризации из степенной суммы

а хорошо известные формулы Ньютона показывают, как выразить эти суммы через элементарные симметрические функции

Чтобы не оставлять никакого пробела в доказательстве, приведем простейший вывод этих формул. Полином

имеет логарифмическую производную

При этом ряд Тэйлора в правой части следует понимать в формальном смысле, так что никаких вопросов о сходимости не возникает:

Отсюда вытекают рекуррентные формулы

с условием при

Следует заметить, что случай также охватывается нашим индуктивным рассуждением, и тем самым теорема доказана нами во всех деталях.