Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике А. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА3. Первый пример: симметрическая группаПосле долгого периода планирования нашего путешествия настал, наконец, момент отправления; мы приступаем теперь к систематическому исследованию векторных инвариантов. Первой нашей заботой будет первая основная теорема, которую мы докажем прямым построением конечного целого рационального базиса для наиболее важных групп. В этом параграфе мы изучим группу Из определения поляризации (глава I, § 1) непосредственно следует, что она переводит инвариант в инвариант, какая бы группа В § 2 упоминалась фундаментальная алгебраическая теорема, гласящая, что элементарные симметрические функции (2.2) образуют целый рациональный базис для инвариантов напрашивается предположение, что полная поляризация функций (2.2) даст полную таблицу типовых базисных инвариантов. Приписав к
Наше утверждение означает (§ 2), что для получения целого рационального базиса для инвариантов
Чтобы избежать нагромождения индексов, обозначим рассматриваемые
Если
где Воспользуемся теперь равенствами (2.6) в их поляризованной форме
и выразим отсюда
заменив их на
Вторая часть такого члена симметрична, даже если первая компонента
Но стоящая здесь сумма получается путем последовательной поляризации из степенной суммы
а хорошо известные формулы Ньютона показывают, как выразить эти суммы через элементарные симметрические функции Чтобы не оставлять никакого пробела в доказательстве, приведем простейший вывод этих формул. Полином
имеет логарифмическую производную
При этом ряд Тэйлора в правой части следует понимать в формальном смысле, так что никаких вопросов о сходимости не возникает:
Отсюда вытекают рекуррентные формулы
с условием Следует заметить, что случай
|
1 |
Оглавление
|