2. Лемма об умножении алгебр

Пусть - две матричные алгебры, элементы которых суть, соответственно, преобразования в -мерных векторных пространствах Тогда каждое

действует в -мерном пространстве — произведении Напоминаем читателю, что теперь изучается кронекеровское произведение а не, как в предыдущем параграфе, обыкновенное произведение и что не предполагаются перестановочными. Линейная оболочка всех матриц (2.1) есть алгебра [31X23], которую мы будем называть произведением алгебр и . Описанный процесс может быть определен и в терминах абстрактных алгебр Если алгебра ранга отнесена к базису а алгебра ранга к базису с таблицами умножения

то имеет базис с таблицей умножения

Переход к другому базису в а или в вызывает лишь изменение базиса в Заметим, что

поэтому

Пусть К — поле над Любое линейное множество матриц над может быть распространено на К путем образования его линейной оболочки над К. Если базис для то

будет пробегать или когда коэффициенты будут независимо изменяться в или, соответственно, в К. Если

алгебра над то подобным же образом, — алгебра над К. Также и этот процесс может быть описан в абстрактных терминах: если базис линейного множества а ранга от, то состоит из всех формальных сумм с произвольными коэффициентами из изменение базиса в а сводится к частному типу изменения базиса в отличающемуся тем, что коэффициенты преобразования лежат в подполе

Если — коммутаторная алгебра над алгебры над то будет коммутаторной алгеброй алгебры над К. Действительно, если базис алгебры то матрица В над К принадлежит , если она удовлетворяет уравнениям

Это — однородные линейные уравнения для В с коэффициентами из Следовательно, решения В обладают базисом состоящим из матриц над Выражение

доставляет все коммутаторы над или К, когда независимо пробегают все числа из или, соответственно, из К. Далее, центром алгебры т. е. пересечением ее с служит — распространение центра алгебр и на К. Действительно, если базис алгебры , то элементы

из получаются как решения уравнений

в числах из К. Так как коэффициенты уравнений лежат в то эти решения обладают -базисом. В частности, если алгебра — нормальная, то это же верно и для .

Пусть теперь абстрактная нормальная алгебра с делением ранга и -неприводимая алгебра матриц порядка Операции

действуют в -мерном векторном пространстве Мы утверждаем, что расщепляется относительно этого множества операторов на некоторое число и неприводимых

инвариантных подпространств, в каждом из которых В индуцирует одно и то же преобразование; Лемма

где — некоторое неприводимое множество матриц.

Векторы из выражаются через базис пространства в виде

Рассматривая как "квази-поле" свободного изменения коэффициентов определяем для любого а из

Инвариантное подпространство 2 пространства конечно, подмножество векторов замкнутое относительно сложения и умножения спереди действительно, в наших прежних обозначениях последняя операция есть Поэтому 2 обладает -базисом через который каждый вектор 5 из 2 единственным образом выражается в виде

и 2 имеет размерность кратную 8. Будем предполагать 2 неприводимым.

Для любой заданной величины из пространство состоящее из всех векторов как и , инвариантно относительно и индуцирует в нем то же преобразование, что и в 2. Применив лемму к последовательности неприводимых инвариантных подпространств

где базис алгебры мы выделим из этой последовательности некоторую подпоследовательность — например, при надлежащей нумерации, такую, что 1) будут линейно независимы, и 2) каждое будет содержаться в сумме

Последнее обстоятельство показывает, что (2) инвариантно также относительно умножений сзади: содержится в (2) для всех Следовательно, (2) инвариантно Относительно всех преобразований вида

где пробегают базис алгебры а и тем самым, согласно лемме относительно Тогда лемма показывает, что есть все пространство замечание завершает наше доказательство, доставляя в то же время равенство

и есть делитель числа