13. Инфинитезимальная точка зрения

Мы подготовлены теперь к тому, чтобы придать нашему исследованию новый оборот введением идеи инфинитезимальных ортогональных преобразований, и достичь, таким образом, еще

более сжатой и изящной трактовки инвариантности. Эта идея взошла на почве непрерывных переменных, и чтобы уразуметь ее чение, мы последуем пути исторического развития, приняв сначала за наше основное поле снова континуум всех вещественных чисел. Хотя это и представляется довольно неожиданным, однако тот же метод с некоторыми формально алгебраическими видоизменениями проходит при любом основном поле характеристики 0.

Возьмем в качестве примера группу вращений в трехмерном пространстве. Эта группа служит для описания подвижности волчка — твердого тела, одна точка о которого, центр, занимает фиксированное положение в пространстве. Пусть любые два момента в процессе движения нашего волчка. Та точка волчка, которая занимает в момент положение в пространстве, будет занимать в момент положение и отображение т. е. смещение, достигнутое в промежуток времени будет операцией нашей группы "Подвижность" всегда должна описываться группой; действительно, будет тождеством, обратным по отношению к Материальная субстанция, распределенная в пространстве (или любой его части), движется как твердое тело вокруг о, если группой возможных смещений служит наша группа В этом описании мы сравниваем положения субстанции в два отдельные момента игнорируя проходимые ею промежуточные положения. Более естественным представляется описывать действительное непрерывное движение во времени как такое, при котором положение волчка претерпевает бесконечно малое вращение в течение каждого элемента времени так что движение предстает в виде интегралообразной цепи инфинитезимальных операций из

Воспользуемся декартовыми координатами с началом в суть координаты точки или компоненты векторного плеча Чтобы избежать понятий, дискредитированных историей математики, мы заменим бесконечно малое смещение скоростью

В каждый момент мы имеем в пространстве определенное поле скоростей, задающее смещение тела в течение следующего элемента времени Так как каждое вращение есть линейное преобразование, то уравнения, определяющие скорость в ее

зависимости от точки должны быть линейными и однородными:

Добавочное требование, чтобы оставалось инвариантным, приводит к соотношению

Если мы запишем это уравнение в виде

то коэффициенты будут симметричными и обращение квадратичной формы в нуль для всех х будет означать обращение в нуль этих коэффициентов:

таким образом, матрица косо-симметрична. В трехмерном пространстве мы положим

Тогда (13.1) превратится в известную кинематическую формулу: равно векторному произведению плеча на постоянный вектор [постоянный — независящий от Если поле скоростей субстанции имеет этот характер в каждый момент, то субстанция движется вокруг о как твердый волчок.

В -мерном эвклидовом пространстве бесконечно малые вращения точно так же описываются уравнениями

с косо-симметричной матрицей

Аналогичным образом каждая непрерывная группа преобразований будет содержать свои инфинитезимальные элементы, являющиеся бесконечно малыми смещениями поля точек. Они удобно заменяются их полями скоростей. Композиция двух бесконечно малых смещений сводится к сложению их полей скоростей. Поэтому инфинитезимальные элементы группы преобразований образуют линейный пучок; они представляют собой не что иное, как пучбк линейных элементов, исходящих из единичного элемента 1 группового многообразия у. Каждый элемент группы, по

крайней мере каждый элемент, соединяемый с 1 непрерывной дугой, лежащей в может быть построен из инфинитезимальных элементов путем нанизывания их в интегралообразную цепь. Эта теория сведения непрерывной группы к ее инфинитезимальным элементам, к которой мы вернемся более подробно в разделе В главы VIII, принадлежит норвежскому математику Софусу Ли. Обогатившись его фундаментальной идеей, мы возвращаемся теперь к нашим алгебраическим изысканиям.

Применяя алгебраическое определение производной (глава I, § 1) к рациональной функции от одной переменной, находим:

где штрих обозначает производную. Предполагая полиномы взаимно простыми, заключаем из или что так как имеют меньшую степень, чем, соответственно, поэтому постоянные.

Пусть -форма предписанных степеней от некоторого числа векторных аргументов Подстановка А, когредиентно примененная ко всем аргументам, превращает в новую форму, которую обозначим через Вводя наряду с новые аргументы мы построим полный дифференциал как поляризованную форму

Произведем с помощью заданной матрицы порядка В подстановку

полученная в результате форма будет иметь относительно всех аргументов те же самые степени, что и Руководствуясь фактом, что инфинитезимальное ортогональное преобразование задается формулой

принимают следующее определение:

тождественно для всех косо-симметричных матриц

Уравнение (13.3) линейно относительно неизвестных и потому содержит однородных линейных уравнений для коэффициентов формы Связующее звено с нашими предыдущими рассмотрениями доставляет следующая простая

Теорема (11.13. А). Понятия формального и инфинитезимального ортогональных инвариантов совпадают.

Докажем сперва, что формальный инвариант является инфинитезимальным. Пусть — косо-симметричная матрица с рациональными элементами. Образуем, исходя из заданного разность

зависящую от параметра Как показывает равенство

"производная" от при равна Таким образом, числитель в (13.4) есть полином, принимающий при значение

Если формальный инвариант, то левая часть равенства (13.4) тождественно равна нулю; следовательно,

Доказательство обратного утверждения немного сложнее; основным используемым в нем средством является закон композиции (10.11). Имеем:

где — два параметра и

Положим

где полином. Производной от

является по определению

Используя (13.5) и применяя к (13.6) то же рассуждение, что и в первой части доказательства, находим, что (13.7) становится равным если ввести сперва в (13.2) дифференциалы

а затем вместо подставить

Поэтому, если есть инфинитезимальный инвариант, то получаем

Подстановка значения в тождество

показывает, что инвариантно относительно преобразования в предположении .