Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 13. Инфинитезимальная точка зренияМы подготовлены теперь к тому, чтобы придать нашему исследованию новый оборот введением идеи инфинитезимальных ортогональных преобразований, и достичь, таким образом, еще более сжатой и изящной трактовки инвариантности. Эта идея взошла на почве непрерывных переменных, и чтобы уразуметь ее Возьмем в качестве примера группу Воспользуемся декартовыми координатами
В каждый момент зависимости от точки
Добавочное требование, чтобы
Если мы запишем это уравнение в виде
то коэффициенты будут симметричными и обращение квадратичной формы в нуль для всех х будет означать обращение в нуль этих коэффициентов:
таким образом, матрица
Тогда (13.1) превратится в известную кинематическую формулу: В
с косо-симметричной матрицей Аналогичным образом каждая непрерывная группа преобразований будет содержать свои инфинитезимальные элементы, являющиеся бесконечно малыми смещениями поля точек. Они удобно заменяются их полями скоростей. Композиция двух бесконечно малых смещений сводится к сложению их полей скоростей. Поэтому инфинитезимальные элементы группы преобразований образуют линейный пучок; они представляют собой не что иное, как пучбк линейных элементов, исходящих из единичного элемента 1 группового многообразия у. Каждый элемент группы, по крайней мере каждый элемент, соединяемый с 1 непрерывной дугой, лежащей в может быть построен из инфинитезимальных элементов путем нанизывания их в интегралообразную цепь. Эта теория сведения непрерывной группы к ее инфинитезимальным элементам, к которой мы вернемся более подробно в разделе В главы VIII, принадлежит норвежскому математику Софусу Ли. Обогатившись его фундаментальной идеей, мы возвращаемся теперь к нашим алгебраическим изысканиям. Применяя алгебраическое определение производной (глава I, § 1) к рациональной функции от одной переменной, находим:
где штрих обозначает производную. Предполагая полиномы Пусть
Произведем с помощью заданной матрицы
полученная в результате форма
принимают следующее определение:
тождественно для всех косо-симметричных матриц Уравнение (13.3) линейно относительно Теорема (11.13. А). Понятия формального и инфинитезимального ортогональных инвариантов совпадают. Докажем сперва, что формальный инвариант является инфинитезимальным. Пусть
зависящую от параметра Как показывает равенство
"производная" от при
Если Доказательство обратного утверждения немного сложнее; основным используемым в нем средством является закон композиции (10.11). Имеем:
где
Положим
где
является по определению
Используя (13.5) и применяя к (13.6) то же рассуждение, что и в первой части доказательства, находим, что (13.7) становится равным
а затем вместо
Поэтому, если
Подстановка значения
показывает, что
|
1 |
Оглавление
|