Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА IV. СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА1. Представление конечной группы над алгебраически замкнутым полемСледующим шагом в выполнении программы, намеченной в § 6 предыдущей главы, является прямое разложение регулярного представления симметрической группы 1. Ортогональность. Пусть
— два неприводимых представления соответственно степеней
в случае же
И. Шуру принадлежит следующее простое доказательство. Образуем с помощью произвольной матрицы
распространенную на все
Поэтому, в силу леммы
Таким образом,
или
Но контрагредиентные матрицы
Поэтому, полагая
так что (1.3) приводится к (1.2). Для характеров
получаем:
Из установленной ортогональности в качестве непосредственного следствия вытекает, что компоненты 2. Полнота состоит в том, что указанные функции образуют полный линейный базис для всех функций или, соответственно, для всех функций классов. Иными словами: число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов в группе у, а сумма квадратов их степеней
этого кольца
Мы знаем из § 7 главы III, что
элементы которых
При этом
суть неэквивалентные неприводимые представления, содержащиеся в регулярном, и записывая (1.5) в виде
мы снова видим, что каждое из них входит столько
Таким образом, элементы
образуют базис центра. Число их равно числу всех неприводимых представлений группы у. Элементы
представляет собой разложение 1 на взаимно нормальные идемпотенты, обрывающееся на неприводимых двусторонне инвариантных подпространствах, т. е. на простых алгебрах, прямою суммой которых является
На Зтом мы могли бы закончить. Однако, чтобы внести большую ясность, мы присоединим еще следующие замечания. Закон перемножения матриц эквивалентен следующей таблице умножения для нашего базиса:
Вычисляя след подстановки (1.5) сначала при "естественном базисе"
или
Таблица умножения (1.10) показывает тогда, что единственными отличными от нуля являются следы таких произведений:
Поэтому (1.6) дает:
Но
где
выводим, таким образом, из (1.12) равенства
в свете которых соотношения (1.11) содержат новое, конструктивное доказательство соотношений ортогональности. Сопоставляя формулу (1.13) для характера соответствующего инвариантного подпространства, видим, что
Указанием, содержащимся в этом равенстве, мы воспользуемся при конструктивном разложении регулярного представления симметричной группы, к которому мы сейчас и переходим.
|
1 |
Оглавление
|