ГЛАВА IV. СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА И ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА

1. Представление конечной группы над алгебраически замкнутым полем

Следующим шагом в выполнении программы, намеченной в § 6 предыдущей главы, является прямое разложение регулярного представления симметрической группы на его неприводимые составляющие. Это построение, доставляя полную совокупность неэквивалентных неприводимых представлений группы вместе с тем протекает целиком в рамках поля х рациональных чисел. Тем не менее получаются такие результаты, которые общей теорией обеспечиваются лишь при алгебраически замкнутом основном поле. Причина этого явления коренится в том, присущем симметрической группе, обстоятельстве, что неприводимые составляющие над х оказываются абсолютно неприводимыми. Для полной оценки нашего прямого и элементарного построения считаем полезным вкратце напомнить читателю основные факты, относящиеся к представлениям конечной группы над алгебраически замкнутым полем Мы имеем в виду ортогональность и полноту.

1. Ортогональность. Пусть

— два неприводимых представления соответственно степеней конечной группы у порядка матрица V, контрагредиентная к Обозначая символом операцию усреднения имеем тогда (в предположении неэквивалентности рассматриваемых представлений)

в случае же усреднение дает:

И. Шуру принадлежит следующее простое доказательство. Образуем с помощью произвольной матрицы из строк и столбцов сумму

распространенную на все упповые элементы Очевидно,

Поэтому, в силу леммы в случае неэквивалентности имеем это и дает соотношения (1.1). Во втором случае, когда лемма позволяет при алгебраически замкнутом поле заключить, что где число, которое должно линейно зависеть от произвольно выбранной нами матрицы

Таким образом,

или

Но контрагредиентные матрицы связаны соотношениями

Поэтому, полагая и суммируя по получаем

так что (1.3) приводится к (1.2). Для характеров

получаем:

Из установленной ортогональности в качестве непосредственного следствия вытекает, что компоненты неэквивалентных неприводимых представлений группы у, равно как и характеры этих представлений линейно независимы.

2. Полнота состоит в том, что указанные функции образуют полный линейный базис для всех функций или, соответственно, для всех функций классов. Иными словами: число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов в группе у, а сумма квадратов их степеней равна ее порядку Тогда как ортогональность приписывает некоторое свойство любым двум заданным представлениям, доказательство полноты, очевидно, зависит от способа построения полной системы неэквивалентных неприводимых представлений. Но общим источником, из которого возникают все эти представления, как было обнаружено в главе III, является регулярное представление группового кольца сопоставляющее каждому элементу

этого кольца подстановку

Мы знаем из § 7 главы III, что вполне приводимо и потому, в силу теоремы является прямой суммой простых алгебр, каждая из которых есть полная матричная алгебра над некоторой алгеброй с делением над Однако над алгебраически замкнутым полем не существует другой алгебры с делением, кроме самого Это получается тем же рассуждением, которым мы специализировали лемму Щура для случая алгебраически замкнутого поля, доказав, что единственными коммутаторами в этом случае служат кратные единичной матрицы. Поэтому при надлежащем выборе базиса общий элемент а нашего группового кольца изображается некоторым набором матриц

элементы которых независимо пробегают все

При этом

суть неэквивалентные неприводимые представления, содержащиеся в регулярном, и записывая (1.5) в виде

мы снова видим, что каждое из них входит столько раз, какова его степень [число t в (III.5.6), связанное с равенством , в данном случае совпадает с поскольку ранг алгебры с делением равен теперь 1]. (1.6) влечет за собой требуемую полноту:

есть функция классов, если а принадлежит центру группового кольца, т. е., согласно § 4 главы III, если в качестве матриц (1.7) выбраны кратные соответствующих единичных матриц:

Таким образом, элементы

образуют базис центра. Число их равно числу всех неприводимых представлений группы у. Элементы дают то полное разложение единицы 1 на взаимно нормальные примитивные-идемпотенты, которым мы занимались в § 9 главы III. Равенство

представляет собой разложение 1 на взаимно нормальные идемпотенты, обрывающееся на неприводимых двусторонне инвариантных подпространствах, т. е. на простых алгебрах, прямою суммой которых является

На Зтом мы могли бы закончить. Однако, чтобы внести большую ясность, мы присоединим еще следующие замечания. Закон перемножения матриц эквивалентен следующей таблице умножения для нашего базиса:

Вычисляя след подстановки (1.5) сначала при "естественном базисе" а затем при нашем новом базисе находим:

или

Таблица умножения (1.10) показывает тогда, что единственными отличными от нуля являются следы таких произведений:

Поэтому (1.6) дает:

Но

где представление рассматриваемой группы. Замечая, что

выводим, таким образом, из (1.12) равенства

в свете которых соотношения (1.11) содержат новое, конструктивное доказательство соотношений ортогональности.

Сопоставляя формулу (1.13) для характера с формулой выражающей его через производящий идемпотент

соответствующего инвариантного подпространства, видим, что

Указанием, содержащимся в этом равенстве, мы воспользуемся при конструктивном разложении регулярного представления симметричной группы, к которому мы сейчас и переходим.