Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 7. Чисто алгебраический подходНаш окончательный результат (6.5) столь прост, что должен Йыть достижим более коротким путем. Укажем один такой путь, близко следующий остроумной работе Принимая во внимание полную взаимность между
как и в главе IV, — оператор симметризации, соответствующий разбиению
т. е. числу элементов
деленному на Пусть разложение подстановки
Числа
Уравнение (7.2) будет иметь решение
и
а, циклов длины 1 могут быть разбиты на группы соответственно по
различными способами; и аналогично для других длин. Строка из
распространенной на все неотрицательные решения
где
Наиболее важным для нас является тот факт, что коэффициенты разложений степенных произведений
здесь
где сумма распространена знакопеременно на все перестановки
есть линейная комбинация примитивных характеров
однако, некоторые из коэффициентов a priori могли бы быть отрицательными, что помешало бы быть характером самому Введем новую систему переменных
Логарифм выражения
поэтому логарифмом правой части соотношения (7.10) служит
Следовательно, совокупность членов степени
т. е. сумма
распространенная на все
Как легко видеть,
есть число
где сумма в левой части распространяется на все
а в правой части — на все классы С другой стороны, умножая равенство (7.7) на соответствующее равенство, содержащее переменные
с коэффициентами
Поэтому
соответственно тому, отвечают ли
в соединении с равенством (7.9) и соотношениями ортогональности для примитивных характеров
показывающей, что либо 1) Для каждой сигнатуры имеет место знак + 2) 1) Обращением уравнений (7.8) служит
с теми же коэффициентами равенство выражает разложение представления 2) В § 3 главы IV мы, между прочим, отметили [равенство (IV.3.4)], что
если диаграмма
это равенство означает, что
Примем теперь, что наше утверждение о том, что есть характер представления
т. е. определитель (6.5). Тем самым мы пришли к нашему прежнему результату. Наряду с этим мы получили следующую простую формулу для вычисления примитивных характеров Теорема (VII.7.A):
где сумма в правой части распространяется на все
Никакого более мощного инструмента для этой цели и нельзя было бы придумать; он дает
в разложении произведения
Приведем два легко получаемых следствия: 1) Степень
Взяв во втором множителе член
где
чтобы в произведении получить некую часть одночлена (7.17), Следовательно,
Последний определитель есть
Отсюда: Теорема (VII.7.В). Степень
где, как всегда,
2) Допустим, что подстановка
Записывая временно правую часть соотношения (7.16) в форме
где сумма распространяется на все целые
Даже если
этого может уже не быть для некоторых из скобок в правой части, например, для
При
и в случае необходимости повторяем этот процесс до тех пор, пока Теорема (VII.7.С). Если клйсс I содержит цикл длины то
При этом, в то время, как (1) неправильность встретилась на последнем месте, (2) Если она встретилась на более раннем месте,
а если при этом разрыв (3) Если же разрыв
( Это правило часто применялось прежде для
где в правой части следует вычеркнуть члены, аргументы которых не сохраняют правильного порядка. Общее правило лишь недавно было указано профессором
суммируя по
В левой части мы имеем характер
очевидно, переносится с неприводимых представлений на любые их линейные комбинации, а значит на все представления вообще. И действительно, она является не чем иным, как выражением в терминах характеров общего закона взаимности, рассмотренного в разделе В главы III. Этим путем равенство (7.19) может быть, как это было выполнено автором
которое можно также вывести из (7.11):
Рассматривая одну лишь симметрическую группу, можно было бы с известным преимуществом придать всему этому исследованию следующий оборот
С каждым характером
Характеристику представления
Введение характеристик можно было бы формально оправдать тем замечанием, что произведение двух характеристик групп характеристика есть соответствующий характер группы GL(n), все это в достаточной степени очевидно.] Поэтому произведения
сопоставляемые с произвольными разбиениями
а их коэффициенты Отсутствие числа я, чуждого симметрической группе
|
1 |
Оглавление
|