7. Чисто алгебраический подход

Наш окончательный результат (6.5) столь прост, что должен Йыть достижим более коротким путем. Укажем один такой путь, близко следующий остроумной работе Фробениуса [16).

Принимая во внимание полную взаимность между и симметрической группой попытаемся определить характеры симметрической группы, которые мы будем обозначать теми же буквами, что и для Там, где понадобится их различать, мы будем в случае группы приписывать индекс а в случае группы — индекс Пусть

как и в главе IV, — оператор симметризации, соответствующий разбиению Обозначим инвариантное подпространство всех величин вида через а соответствующее представление группы через Из формулы (III.7.14) мы видим, что его характер равен

т. е. числу элементов для которых

деленному на Пусть разложение подстановки на взаимно простые циклы содержит циклов длины циклов длины

Числа характеризуют класс рассматриваемой подстановки; поэтому мы будем записывать любую функцию классов в виде

Уравнение (7.2) будет иметь решение если только мы можем составить из циклов подстановки строки длин Пусть циклов длины циклов длины дают строку длины Тогда мы должны иметь

и

а, циклов длины 1 могут быть разбиты на группы соответственно по циклов

различными способами; и аналогично для других длин. Строка из индексов составится путем выписывания Сперва циклов длины 1 в их естественном или вообще в каком-нибудь фиксированном порядке, затем выписывания таким же образом циклов длины будет решением уравнения (7.2), если при подстановке индексы в первой строке, длины переходят в индексы в любом их порядке, индексы во второй строке переходят в любое расположение индексов Поэтому число решений уравнения (7.2) равно раз взятой сумме

распространенной на все неотрицательные решения системы уравнений (7.3), (7.4). Сумма (7.5) сама является характером Вводя неопределенных величин мы сжато выразим наш комбинаторный результат более удобной формулой

где суть степенные суммы, составленные для величии

Наиболее важным для нас является тот факт, что коэффициенты разложений степенных произведений но переменным суть характеры. Образуем теперь

здесь

где сумма распространена знакопеременно на все перестановки ряда Подобно характерам

есть линейная комбинация примитивных характеров лыми коэффициентами:

однако, некоторые из коэффициентов a priori могли бы быть отрицательными, что помешало бы быть характером самому Следующим нашим шагом будет — показать непосредственным вычислением, что величины удовлетворяют тем же соотношениям ортогональности, что и примитивные характеры Это достигается с помощью леммы Коши.

Введем новую систему переменных со степенными суммами и начнем с соотношения Коши (во всяком случае справедливого при

Логарифм выражения равен

поэтому логарифмом правой части соотношения (7.10) служит

Следовательно, совокупность членов степени в самом произведении есть совокупность членов этой степени в разложении функции

т. е. сумма

распространенная на все удовлетворяющие условию

Как легко видеть,

есть число элементов класса Таким образом, мы пришли к следующей форме соотношения Коши:

где сумма в левой части распространяется на все

а в правой части — на все классы группы

С другой стороны, умножая равенство (7.7) на соответствующее равенство, содержащее переменные вместо находим для правой части соотношения (7.12) разложение по произведениям

с коэффициентами

Поэтому

соответственно тому, отвечают ли и одинаковым или же различным сигнатурам Равенство

в соединении с равенством (7.9) и соотношениями ортогональности для примитивных характеров приводит к формуле

показывающей, что либо либо должно быть примитивным характером. Сверх того, заключаем из (7.13), что для различных сигнатур являются характерами неэквивалентных неприводимых представлений. Осталось доказать две. вещи:

1) Для каждой сигнатуры имеет место знак +

2) есть характер представления соответствующего разбиению

1) Обращением уравнений (7.8) служит

с теми же коэффициентами что и в теореме Многоточием обозначена здесь линейная комбинация членов ранга высшего чем ранг старшего члена Это

равенство выражает разложение представления на его неприводимые компоненты. Из того, что служит здесь старшим членом, следует, что не может быть характером, поскольку коэффициенты по характерам в (7.14) не могут быть отрицательными. Таким образом, мы приходим к двум заключениям: характером является коэффициенты

2) В § 3 главы IV мы, между прочим, отметили [равенство (IV.3.4)], что

если диаграмма ниже диаграммы Записанное в виде

это равенство означает, что не содержит никакого неприводимого представления ранга низшего, чем но определенно содержит так как, в противоположность равенству (7.15),

Примем теперь, что наше утверждение о том, что есть характер представления уже доказано для всех разбиений, более высоких по рангу, чем рассматриваемое разбиение Тогда формула (7.14) показывает, что характер должен соответствовать тому единственному которое, наряду с частями высшего ранга, чем действительно является частью представления именно — представлению непредставлением группы соответствующим представлению группы является представление, индуцируемое в пространстве всех тензоров ранга вида так что характер группы соответствующий характеру определяется формулой (2.16). Поэтому, перенося в левую часть равенства (7.8) все члены, стоящие в правой части со знаком минус, переходя затем к соответствующему равенству для характеров группы наконец, перенося указанные члены обратно, мы получим, что характером представления служит

т. е. определитель (6.5). Тем самым мы пришли к нашему прежнему результату. Наряду с этим мы получили следующую простую формулу для вычисления примитивных характеров симметрической группы:

Теорема (VII.7.A):

где сумма в правой части распространяется на все

Никакого более мощного инструмента для этой цели и нельзя было бы придумать; он дает качестве коэффициента при

в разложении произведения

Приведем два легко получаемых следствия:

1) Степень представления является коэффициентом при в разложении произведения

Взяв во втором множителе член

где какая-нибудь перестановка ряда мы должны выбрать в первом множителе член

чтобы в произведении получить некую часть одночлена (7.17), Следовательно,

Последний определитель есть

Отсюда:

Теорема (VII.7.В). Степень неприводимого представления симметрической группы равна

где, как всегда,

2) Допустим, что подстановка содержит цикл длины Вычеркнув его, мы сведем к подстановке индексов, класс которой характеризуется теми же числами что и класс подстановки с тем исключением, что заменяется на отсюда имеем простое соотношение:

Записывая временно правую часть соотношения (7.16) в форме

где сумма распространяется на все целые получаем

Даже если идут в убывающем порядке:

этого может уже не быть для некоторых из скобок в правой части, например, для

При этот член следует отбросить; при мы меняем эти два аргумента местами:

и в случае необходимости повторяем этот процесс до тех пор, пока не займет надлежащего места. В случае оно будет вытолкнуто в конец строки, и наш член точно так же следует вычеркнуть. Переходя обратно от индексов к индексам получаем следующее правило рекуррентного вычисления характеров:

Теорема (VII.7.С). Если клйсс I содержит цикл длины и класс, получающийся после вычеркивания этого цикла,

то

При этом, в то время, как для некоторых х в правой части индексы могут в одном месте отклоняться от этого их правильного порядка. К тем в которых это происходит, надлежит применить следующее приведение.

(1) неправильность встретилась на последнем месте, то х следует вычеркнуть.

(2) Если она встретилась на более раннем месте,

а если при этом разрыв ото поступаем так же.

(3) Если же разрыв ото заменяем

( увеличивается на уменьшается на 1, и порядок обращается). Этим неправильность либо устраняется, либо сдви гается на следующее место (а притом с меньшим разрывом).

Это правило часто применялось прежде для . В частности, имеет место рекуррентное равенство

где в правой части следует вычеркнуть члены, аргументы которых не сохраняют правильного порядка. Общее правило лишь недавно было указано профессором Мурнаганом обнаружившим, что оно весьма полезно для фактического вычисления характеров. Умножая (7.16) на

суммируя по и используя соотношения ортогональности для характеров приходим к равенству

В левой части мы имеем характер группы Эта связь,

очевидно, переносится с неприводимых представлений на любые их линейные комбинации, а значит на все представления вообще. И действительно, она является не чем иным, как выражением в терминах характеров общего закона взаимности, рассмотренного в разделе В главы III. Этим путем равенство (7.19) может быть, как это было выполнено автором непосредственно установлено с помощью тех же комбинаторных рассмотрений, которые привели к равенству Фробениуса (7.6). Частным случаем является равенство

которое можно также вывести из (7.11):

Рассматривая одну лишь симметрическую группу, можно было бы с известным преимуществом придать всему этому исследованию следующий оборот с помощью независимых переменных сопоставляем с классом подстановки которого состоят из циклов длины циклов длины одночлен

С каждым характером симметрической группы сопоставляем следующий полином от переменных называемый по Шуру характеристикой.

Характеристику представления характером которого служит обозначим через

Введение характеристик можно было бы формально оправдать тем замечанием, что произведение двух характеристик групп является некоторой характеристикой группы Это утверждение заменяет комбинаторное рассуждение, с помощью которого мы вывели формулу Фробениуса (7.6), и доказывается аналогичным способом. [Для нас, посвященных, знающих, что

характеристика есть соответствующий характер группы GL(n), все это в достаточной степени очевидно.] Поэтому произведения

сопоставляемые с произвольными разбиениями являются характеристиками; и то же верно для определителей

а их коэффициенты суть характеры, по крайней мере в расширенном, фробениусовском смысле, т. е. линейные комбинации примитивных характеров с целыми, но не обязательно положительными, коэффициентами. С помощью соотношений ортогональности и надлежащей формы леммы Коши убеждаемся в том, что сами являются примитивными характерами.

Отсутствие числа я, чуждого симметрической группе можно считать преимуществом этого способа. Однако, какую бы редакцию ни придать этой теории, она всегда зависит от трех моментов, а именно, от типичных комбинаторных рассмотрений, леммы Кощи и соотношений ортогональности. И при этом определитель появляется неизвестно откуда, как deus ex machina ("бог из машины"). Не так обстоит дело в аналитическом методе, где возникает из элемента объема унитарной группы. Таким образом, отдав дань уважения алгебраическим проверкам в различных их видах, я остаюсь убежденным, в противоречие со всеми пуританскими доктринами, что аналитический метод является наименее искусственным, дозволяющим наиболее глубокое проникновение, и лучшим в проведении нашей программы: решать конкретные проблемы с помощью общих методов, проливающих свет на гораздо более широкую область математических фактов, чем нужно для нашей непосредственной цели. Наиболее выдающимся преимуществом нашего аналитического способа является то, что его можно непосредственно обобщить на симплектическую и ортогональную группы.