Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8. Характеры симплектической группыДля
Лемма Теорема
где Доказательство. Из теории унитарных матриц мы знаем, что корни
равны по абсолютной величине единице и что собственные пространства
унитарно перпендикулярны друг к другу для численно различных корней и образуют в сумме все пространство
Мы теперь специальным образом определим базис в каждом 1)
Собственные значения 2) Объединяя построенные так базисы различных собственных пространств, мы получим базис всего являющийся одновременно унитарно ортогональным и симплектическим. В этой системе координат наше преобразование примет диагональный вид с компонентами (8.1). Положим
и назовем снова
Теорема (VII.8.В). Объем той части группы
дается выражением
где
Доказательство аналогично доказательству теоремы
где коэффициенты I суть целые числа, удовлетворяющие неравенствам
а сумма распространяется знакопеременно на группу
Теорема (VII.8.C). Каждый примитивный характер
и знаменателем Старшим членом в
Степень определяем, полагая сперва
в результате чего числитель (8.5) принимает вид
и переходя затем к пределу по
Сопоставление с алгебраическим построением, проведенным в глава V, показывает, что (8.5) соответствует линейному пространству Теорема Запишем формулу леммы Коши в виде
и положим теперь
Тогда
Получаем:
Поэтому, пользуясь сокращенными обозначениями (8.4) и
имеем;
Вводя снова с помощью формулы (6.4) величины
характер
т. е. определителю
Теперь мы можем сбросить унитарные оковы. Желая притти к однородным обозначениям для Теорема
где
а
В процессе всего этого стремительного продвижения мы нигде не натолкнулись ни на Малейшую помеху Характеристический полином
симплектического преобразования А:
где I — матрица, введенная на стр. 229, обладает свойством
Действительно, из
следует
так как
Полином степени
и, следовательно, имеет вид
Поэтому функция
где
будет удовлетворять, при
где множитель
Поэтому, путем индукции по
где
Определитель
есть разностное произведение величин
то получаем:
Удобно ввести вспомогательные полиномы
Тогда полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: Теорема (VII.8.F). Производящие функции
определяемые формулами (8.11), (8.12), с одной стороны, описывают разложение представления
а с другой — определяют число независимых ковариантов предписанного типа Невозможно сконцентрировать в более стройном виде все богатство информации, содержащейся в этой формуле. Для
поэтому для
Пусть
предписанных степеней Раньше мы придерживались способа спуска от
Рассматривая предыдущие соотношения
где
косо-симметричен по
Как производящая функция в этом смысле, (8.16) выражает кратности
|
1 |
Оглавление
|