8. Характеры симплектической группы

Для симплектической группы размерность четная, Векторные компоненты мы будем обозначать через

Лемма оправдывает ограничение унитарными симплектическими преобразованиями, которые образуют группу Аналогично теореме имеем:

Теорема каждый элемент А является сопряженным к некоторому диагональному элементу с компонентамц

где

Доказательство. Из теории унитарных матриц мы знаем, что корни характеристического уравнения

равны по абсолютной величине единице и что собственные пространства состоящие из всех векторов удовлетворяющих уравнению

унитарно перпендикулярны друг к другу для численно различных корней и образуют в сумме все пространство Каждому вектору х соответствует вектор, обозначенный в § 2 главы VI через и из уравнения (8.2) следует

Мы теперь специальным образом определим базис в каждом причем будем различать два случая:

1) В как и прежде, выбираем произвольный унитарно ортогональный базис Векторы х, соответствующие векторам из образуют собственное пространство и за его базис мы выбираем

Собственные значения встречаются парами одинаковой кратности, и указанное сейчас построение выполняется независимо для каждой из этих пар.

2) Случай рассматривался в § 2 главы VI, где нам удалось построить базис для являющийся одновременно унитарно ортогональным и симплектическим. То же построение проходит и для

Объединяя построенные так базисы различных собственных пространств, мы получим базис всего -мерного пространства,

являющийся одновременно унитарно ортогональным и симплектическим. В этой системе координат наше преобразование примет диагональный вид с компонентами (8.1). Положим

и назовем снова углами преобразования А. С точностью до нумерации и знаков они однозначно определены по модулю 1. Введем обозначение

Теорема (VII.8.В). Объем той части группы элементов которой углы заключены в бесконечно близких пределах

дается выражением

где

Доказательство аналогично доказательству теоремы Каждый характер группы является функцией классов и, значит, периодической функцией углов с периодом 1 по каждому аргументу, инвариантной относительно "октаэдральной" группы порядка состоящей из всевозможных подстановок аргументов соединенных с произвольными распределениями знаков. антисимметрично относительно этой группы. Простейшими антисимметрическими функциями являются элементарные суммы

где коэффициенты I суть целые числа, удовлетворяющие неравенствам

а сумма распространяется знакопеременно на группу Имеем:

является самой низкой по рангу из этих сумм:

Теорема (VII.8.C). Каждый примитивный характер группы является дробью с числителем

и знаменателем

Старшим членом в является где

Степень определяем, полагая сперва

в результате чего числитель (8.5) принимает вид

и переходя затем к пределу по

Сопоставление с алгебраическим построением, проведенным в глава V, показывает, что (8.5) соответствует линейному пространству выделенному из Диаграммой симметрии

Теорема Представления где принимают все целые значения, подчиненные условиям образуют полную систему неэквивалентных непрерывных неприводимых представлений унитарной симплектинеской группы.

Запишем формулу леммы Коши в виде

и положим теперь

Тогда

Получаем:

Поэтому, пользуясь сокращенными обозначениями (8.4) и

имеем;

Вводя снова с помощью формулы (6.4) величины видим, что

характер равен коэффициенту при в выражении

т. е. определителю

Теперь мы можем сбросить унитарные оковы. Желая притти к однородным обозначениям для заменим здесь символ на

Теорема Характером неприводимого представления симплектической группы служит

где -функции произвольного симплектического преобразования А, определяемые формулой

а

В процессе всего этого стремительного продвижения мы нигде не натолкнулись ни на Малейшую помеху

Характеристический полином

симплектического преобразования А:

где I — матрица, введенная на стр. 229, обладает свойством

Действительно, из

следует

так как Положим

Полином степени удовлетворяет аналогичному (8.8) уравнению

и, следовательно, имеет вид

Поэтому функция

где

будет удовлетворять, при рекуррентному уравнению

где множитель в случае наименьшего т. е. следует заменить на 1. Кроме того,

Поэтому, путем индукции по начинающейся от получаем:

где

Определитель

есть разностное произведение величин умноженное на Так как

то получаем:

Удобно ввести вспомогательные полиномы

Тогда полученный нами результат можно сформулировать следующим образом:

Теорема (VII.8.F). Производящие функции

определяемые формулами (8.11), (8.12), с одной стороны, описывают разложение представления на неприводимые части

а с другой — определяют число независимых ковариантов предписанного типа зависящих от векторных аргументов в произвольных степенях

Невозможно сконцентрировать в более стройном виде все богатство информации, содержащейся в этой формуле. Для она дает числа линейно независимых векторных инвариантов. Вплоть до числитель допускает упрощенное выражение

поэтому для

Пусть суть векторных аргументов и их косых произведений. Формула (8.13) показывает, что линейно независимых инвариантов имеется столько же, сколько и "одночленов"

предписанных степеней Это, разумеется, находится в полном согласии с утверждениями первой и второй основных Теорем, что все инварианты могут быть выражены через косые произведения и что между косыми произведениями векторов нет никаких алгебраических соотношений. Приняв любое из этих двух предложений, мы получили бы с помощью нашей формулы и другое. Мы видим теперь, что означает знаменатель в наших формулах; им учитывается тот очевидный факт, что умножение любого коварианта на произвольный одночлен (8.14) приводит снова к коварианту того же типа.

Раньше мы придерживались способа спуска от к подгруппе уже после того, как представление разложено на его неприводимые составляющие при режиме нашей линейной группы:

Рассматривая предыдущие соотношения

где обозначают, соответственно, характеры групп приходим к следующей формуле: Теорема Ряд Тейлора для

косо-симметричен по переменным а может быть поэтому записан в виде

Как производящая функция в этом смысле, (8.16) выражает кратности с которыми входят в неприводимые части