ГЛАВА II. ВЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

1. Взгляд в прошлое

Теория инвариантов возникла в Англии около середины XIX в. как естественный аналитический инструмент для описания конфигураций и их внутренних геометрических связей в проективной геометрии. Функции и алгебраические соотношения, выражающие их в проективных координатах, должны быть инвариантны относительно всех однородных линейных преобразований. Кэлли первый перешел от рассмотрения определителей к более общим инвариантам. Этот путь отразился в заглавии его работы, Мётогге sur les Hyperditerminants (1846), которую можно считать свидетельством о рождении теории инвариантов. В более поздних шести знаменитых Memoirs on Quantics (1854—1859) ему удалось, среди других результатов, получить полную систему инвариантов для кубических и биквад-ратичных форм. Его работу продолжили в Англии Сильвестр и Сальмон. Сильвестр преподавал несколько лет в Johns Hopkins University и там основал первый математический журнал на американском континенте: The American Journal of Mathematics. Страницы первых томов этого журнала заполнены работами по теории инвариантов, вышедшими из-под плодовитого пера Сильвестра. В Германии приверженцами и продолжателями новой дисциплины стали Аронгольд, Клебш и Гордон. В Италии эта область привлекла Бриоши, Кремона, Бельтрами и Капелли. Этот ранний период развития теории инвариантов носил исключительно формальный характер: на первый план ставилось развитие формальных процессов и фактическое вычисление инвариантов. Почти все работы имели дело с одной группой — непрерывной группой всех однородных линейных преобразований.

Другой импульс, в несколько отличном направлении, дала теория чисел, более точно — арифметическая теория бинарных

квадратичных форм. Здесь оказалось необходимым рассматривать не непрерывную, а дискретную группу — группу унимодулярных линейных подстановок с целыми коэффициентами. Гаусс в своих Disquisitiones arithmeticae исследовал эквивалентность квадратичных форм относительно этой группы. Кроме и после Гаусса выдающимися исследователями в этой области были Якоби в Германии и Эрмит во Франции.

За формальным периодом классической теории инвариантов последовал более критический и идейный, решавший общие проблемы теории инвариантов конечных форм не столько посредством прямых вычислений, сколько путем развития соответствующих общих понятий и их общих свойств по тем абстрактным направлениям, которые позже повсеместно вошли в моду во всей алгебре. Здесь следует упомянуть только одного человека — Гильберта. Его работы (1890—1892) знаменуют поворотный пункт в истории теории инвариантов 131. -Он решил Основные проблемы и тем самым почти убил весь предмет. Но все же в прследующие десятилетия жизнь теории инвариантов влачится, хотя и слабо теплясь. А. Гурвитц делает новый и важный вклад, введя интегральные процессы, распространяющиеся на групповое многообразие (1897); в Англии А. Юнг, разрабатывая это поле более или менее в одиночку, получает важные результаты, относящиеся к представлениям симметрической группы, и использует их для целей теории инвариантов (1900 и позже). В последнее время древо теории инвариантов обнаружило новую жизнь и начало снова цвести, главным образом, вследствие интереса к вопросам теории инвариантов, пробужденного революционным развитием теоретической физики (теории относительности и квантовой механики), но также и благодаря связи теории инвариантов с распространением теории представлений на непрерывные группы и алгебры.

Появление проективной геометрии произвело столь подавляющее впечатление на геометров первой половины XIX в., что они начали стараться втиснуть все геометрические рассмотрения в проективную схему. В соответствии с этим сужение проективной группы до аффинной группы или группы эвклидовых движений метрической геометрии осуществлялось путем присоединения так называемых "абсолютных" объектов: бесконечно удаленной плоскости, абсолютной инволюции. То же стремление проявляется, когда метрическую геометрию в векторном пространстве трактуют, допуская произвольные аффинные системы координат и произвольные линейные преобразования,

присоединив при этом фундаментальную метрическую форму как нечто абсолютное, вместо того, чтобы ограничиться лишь метрически эквивалентными декартовыми системами координат и соответствующей группой ортогональных преобразований. Этот подход, будучи легко распространимым на инфинитезимальную геометрию, остался в употреблении и весьма успешно применялся, в частности, для целей общей теории относительности. В теории групп он сводится к тому, что каждая группа линейных преобразований рассматривается как подгруппа полной линейной группы и в связи с ней. Диктаторский режим проективной идеи в геометрии впервые начал последовательно разрушать немецкий астроном и геометр Мебиус. Но классическим документом демократической платформы в геометрии, утверждающим группу преобразований как руководящий принцип в любого рода геометрии и предоставляющим равные права на независимое рассмотрение каждой и всякой такой группе, была Эрлангенская программа Клейна. Приноровление теории инвариантов к этой точке зрения происходило медленно; оно не могло быть выполнено без учета того, что изучению инвариантов групп должно предшествовать изучение самих групп и их представлений.

Решающим для развития теории групп было открытое Э. Галуа (1832) применение групп подстановок для исследования алгебраических уравнений; он заметил, что связь между алгебраическим расширением К и исходным полем в значительной степени определяется группой автоморфизмов. Его теорию можно описать как алгебраическую теорию относительности для конечных множеств чисел, заданных как корни алгебраического уравнения 11. Краткие намеки Галуа долгое время оставались книгой за семью печатями. Только с монографией С. Jordaria "ТгаЦё des Substitutions" (1870) вновь завоеванное поле было открыто для более широкого круга математиков. Алгебраические проблемы, связанные с эллиптическими и модулярными функциями, - деление, преобразование, комплексное умножение, - доставили наиболее важный материал для новых концепций. Возглавив это направление, Ф. Клейн и А. Пуанкарэ создали теорию автоморфных функций. В то время как теория Галуа имеет дело с конечными группами, здесь выдвинулись на первый план бесконечные дискретные группы. Нужды кристаллографии побудили к детальному изучению бесконечных дискретных групп движений. Софус Ли положил начало общей теории непрерывных групп с инфинитезимальной точки зрения и показал

ее важность- многочисленными применениями к геометрическим вопросам и к дифференциальным уравнениям Iе).

Теория представлений групп линейными преобразованиями была создана, в первую очередь, Г. Фробениусом Ю в течение 1896-1903 гг. Бэрнсайд независимо от него и И. Шур — продолжая его, нашли существенно более простой подход, выдвинув на первый план саму матрицу представления, вместо ее следа — фробениусовского характера. Для инфинитезимальных групп Ли Э. Картан доказал основные предложения об их строении и представлениях Все это тесно связано с гиперкомплексными системами чисел или алгебрами. После создания Гамиль-. тоном исчисления кватернионов (1843) и долгого периода более или менее формальных изысканий, в которых наиболее выдающуюся роль сыграл Б. Пирс, Молин (1892) был фактически первым, кто достиг некоторых общих и глубоких результатов в этом направлении М. Первостепенную важность для современного развития теории имела работа Веддербёрна от 1908 г., где он исследует ассоциативные алгебры над произвольным числовым полем в качестве фундаментального следует также упомянуть исследование И. Шура о неприводимых представлениях над произвольным числовым полем (1909). После этого теория алгебр продвигалась вперед, в Америке главным образом трудами Л. Диксона и А. А. Алберта, в Германии — Эмми Нётер и Р. Брауэром,

Этим кратким перечислением имен вместо реальной истории мы удовольствуемся здесь в качестве нашего связующего звена с прошлым Библиография поможет пополнить картину в отношении современного периода.