2. Параметризация и унитарное ограничение

Установив первую основную теорему для симплектических инвариантов, мы повторяем затем шаг за шагом путь, которому следовали в случае ортогональной группы, отмечая лишь те случаи, где требуются совсем тривиальные модификации,

Согласно лемме параметризация Кэли

применимая к неисключительным матрицам превращает квадратное уравнение

в линейное

На всем дальнейшем протяжении этого параграфа 5 будет обозначать инфаншпезимальное симплектическое преобразование, т. е. матрицу, удовлетворяющую уравнению (2.3). Располагая индексы в порядке легко убеждаемся в том, что

где

число параметров, от которых линейно зависит, сводится к

До сих пор симплектический случай представлялся существенно более простым, чем ортогональный; вещи, носившие там квадратичный характер или требовавшие извлечения квадратных корней, становились здесь линейными или рациональными. Но в тот момент, когда мы должны обратиться к изучению исключительных симплектических А, мы наталкиваемся на препятствие. Аналогом вещественных ортогональных преобразований служат во многих отношениях не вещественные, а, скорее, унитарные симплектические преобразования. Мы оперируем в поле всех комплексных чисел или, более обще, в поле получающемся путем присоединения к какому-нибудь вещественному полю Числа из являются "вещественными" числами в Начиная отсюда, а будет всюду обозначать число, комплексно сопряженное с а:

Форма вида

линейна относительно у и "антилинейна" относительно

При применении к одного и того же преобразования матрица этой формы переходит в

Лемма (II. 10.А) и ее доказательство переносятся на этот случай, показывая, что формулы (2.1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между неисключительными удовлетворяющими, соответственно, условиям

Выражение (2.8) называется эрмитовым, если

а

есть тогда соответствующая эрмитова форма, принимающая вещественные значения. Единичную форму

можно положить в основу модифицированной эвклидовой векторной геометрии над комплексным полем предоставляя роль скалярного произведения. Вследствие равенства

унитарная перпендикулярность, определяемая требованием является взаимным соотношением. Унитарные преобразования оставляющие форму (2.11) неизменной,

образуют группу являющуюся в этой геометрии аналогом ортогональной группы. Унитарная система координат

удовлетворяет соотношениям

Любая неисключительная унитарная матрица А выражается формулой через "инфинитезимальную унитарную" матрицу, т. е. матрицу для которой

Вследствие положительной определенности формы пространство унитарно-перпендикулярное к заданному подпространству является дополнительным так что все векторное пространство расщепляется на сумму Классическое индуктивное построение унитарной системы координат проводится тем же путем, что и вобычной вещественной эвклидовой геометрии. Лемме соответствует

Лемма (VI.2.A). Любое множество унитарных преобразований над полем вещественно) вполне приводимо.

Рассмотрим теперь пересечение групп элементы А этой группы одновременно и симплектичны, и унитарны. Если элемент А — неисключительный, то подстановка (2.1) переводит его в инфинитезимальный элемент 5 той же группы, характеризуемый обоими соотношениями (2.3) и (2.12). Соотношение (2.12) налагает на параметры в (2.4) ограничения

или, если положить

— условие вещественноети на параметров и,

Относительно унитарной группы вектор порождаемый ковариантным вектором контрагредиентен. Комбинируя это с (1.11), мы видим, что соотношения

ассоциируют с любым ковариантным вектором х такой же вектор и инвариантным образом относительно Действительно,

соотношения (2.14) можно объединить в одно тождество

относительно у. Пользуясь обозначением

имеем тогда:

Невозможно ли определить векторный базис который был бы одновременно симплектичным и унитарным,

и первый вектор которого совпадал бы с наперед заданным вектором Разумеется, сперва нужно будет нормировать так, чтобы сделалось Но есть сумма квадратов в вещественном поле А, так как [см. (2.7)]

Следовательно, требуемое нормирование можно выполнить пифагоровским расширением поля не нарушающим вещественности последнего. Примем поэтому, что Тогда пара векторов

удовлетворяет всем требованиям (2.16) для Сверх того, как легко следует из (2.15), подпространство векторов удовлетворяющих уравнениям

или, что то же,

замкнуто относительно операции Это позволяет выполнить требуемое нам индуктивное построение системы координат.

Пусть теперь исключительный элемент из Подпространство векторов х, удовлетворяющих уравнению

выдерживает операцию так как из следует Легко видеть, что это обстоятельство, благодаря свободе пифагоровских присоединений к позволяет выбрать в унитарную симплектическую систему координат и расширить ее до подобной же системы для всего векторного пространства Тогда, как и в случае ортогональной группы, получаем:

Лемма (VI.2. В). Любая унитарная симплектическая матрица А над является произведением двух перестановочных неисключительных унитарных симплектических матриц

Понятие формального симплектического инварианта вводится очевидным образом. Для доказательства что всякий такой инвариант может быть выражен через косые произведения, мы оперируем в гауссовском поле При этом существенное значение имеют следующие два замечания. Для любых векторов с компонентами из этого поля можно определить унитарную симплектическую систему координат первый вектор которой удовлетворяет системе уравнений

Соответствующее унитарное симплектическое преобразование, обращающее в нуль компоненту одновременно у всех аргументов вообще говоря, потребует пифагоровских расширений поля х до некоторого вещественного поля Второе замечание относится к форме зависящей от бинарных векторов и формально инвариантной относительно двумерной симплектической группы; оно заключается в установлении того, что такая форма, не содержащая вторых компонент х, у,..., будет постоянной. Действительно,

при и будет матрицей неисключительного симплектического преобразования, переводящего

Равенство двух этих выражений будет тождеством относительно а и у и будет, таким образом, выполняться даже для

Довольно любопытно, что во всех предшествующих рассмотрениях ту же службу, что и могло бы сослужить нам и вещественное поле унитарные симплектические матрицы были бы тогда ортогональными и симплектическими. (Эта группа, пересечение и пожалуй, заслуживала бы большего, чем лишь это беглое упоминание.) Однако для определения обертывающей алгебры представляется существенным применение унитарного приема; успех его основывается на том простом замечании, что ограничение унитарностью матрицы сводится к ограничению вещественностью входящих в нее параметров и потому алгебраически несущественно. Действительно, согласно лемме заданный полином зависящий от параметров

матрицы или от параметров введенных формулами (2.13), будет тождественно равен нулю, если он равен нулю для всех вещественных значений (достаточно было бы даже всех рациональных значений) последних параметров, не обращающих в нуль