С. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

14. Формулировка предложения для унимодулярной группы

В -мерном векторном пространстве типовыми базисными инвариантами относительно группы всех унимодулярных линейных преобразований служат "латинский" компонентный определитель ковариантных ("латинских") векторов "греческий" компонентный определитель ковариантных ("греческих") векторов и смешанное выражение произведение ковариантного вектора х на контравариантный вектор (Нижними индексами мы пользуемся теперь для различения отдельных векторов, поскольку в обозначении векторных компонент нет нужды,) Между этими базисными инвариантами

существуют соотношения следующих пяти типов:

Здесь латинские буквы обозначают ковариантные векторы, греческие—контравариантные векторы. Знакопеременная сумма в и состоящая из членов, относится к последовательности то же самое в и (IV) относительно Тождества и непосредственно следуют из того, что левая часть их является косо-симметричной полилинейной формой, зависящей от векторов

Теорема (Вторая основная теорема для унимодулярной группы.) Все соотношения между указанными базисными инвариантами являются алгебраическими следствиями соотношений пяти типов

В целях точной формулировки второй основной теоремы следует сперва рассматривать величины типа

как независимые переменные ("формальная точка зрения"); латинские и греческие "символы" лишены здесь какого бы то ни было самостоятельного значения. При этом, однако, что выражение типа при перестановке символов превращается в с положительным знаком для четных и отрицательным — для нечетных подстановок; в частности, выражение этого типа, содержащее два тождественных символа, есть нуль. Пусть целая рациональная функция от этих переменных, содержащая некоторые латинские символы и некоторые греческие символы Совокупность всех функций получаемых путем подстановки в левые части соотношений (I) - (V) вместо стоящих там латинских и греческих букв этих символов во всех возможных комбинациях, — разумеется, латинских символов лишь вместо

латинских букв и греческих символов лишь вместо греческих букв, — является базисом идеала Возвращаемся теперь к старой точке зрения, заменяя каждый из латинских и греческих символов соответственно переменным ковариантным или контравариантным вектором и затем истолковывая символы (14.1) в их старом смысле, как компонентные определители и внутреннее произведение; этот процесс есть то, что я называю подстановкой. Вторая основная теорема утверждает: Если функция при подстановке переходит в 0, то она принадлежит идеалу

Наряду с буду пользоваться еще следующим типовым выражением, обращающимся при подстановке в нуль:

Оно принадлежит идеалу действительно, развертывая этот определитель по первой строке и заменяя определители типа входящие множителями, соответствующими произведениями типа

по модулю мы получим (где следует положить умноженное на

Без ограничения общности можно предполагать, что функция однородна по каждому из латинских и греческих символов. Действительно, можно разложить на такие однородные слагаемые соответственно степеням этих символов, и если при подстановке обращается в нуль, то то же имеет место и для каждого слагаемого в отдельности. (При подсчете степени одночленного слагаемого функции следует, конечно, приписывать каждой переменной степень 1 по содержащимся в ней символам и степень но несодержащимся.) Пусть отдельный член функции содержит I латинских и X греческих компонентных определителей; тогда полная степень относительно латинских символов минус полная степень относительно греческих будет для этого члена Следовательно, в предположении однородности функции разность имеет одно и то же значение для всех членов этой функции. Произведение латинского и

греческого компонентных определителей, можно заменить, полиномом от переменных типа а именно, определителем из Поэтому мы можем считать, что функция содержит либо одни лишь латинские, либо одни лишь греческие компонентные определители, причем каждый ее член — одно и то же их число. Так как наша таблица фундаментальных соотношений симметрична относительно латинских и греческих символов, то мы ограничимся тем случаем, когда содержит лишь латинские компонентные определители. После этих приготовлений мы можем высказать вторую основную теорему в следующей уточненной форме:

Т. Если однородная функция обращающаяся при подстановке в нуль, содержит лишь переменные типа то она уже по модулю выражений типа

Т. Если, однако, такая функция кроме переменных типа содержит еще латинские компонентные определители, но не содержит греческих, то она по модулю выражений типа и