7. Неприводимые представления полной ортогональной группы

Наша общая теория раздела В главы III в применении к встретившемуся нам здесь случаю, когда у есть симметрическая группа векторное пространство есть пространство

всех тензоров ранга с нулевыми следами, а заданное представление группы у в есть показывает нам, как расщепить на неприводимые инвариантные подпространства относительно алгебры бисимметричных подстановок в Инвариантное подпространство

соответствующее диаграмме строки которой имеют, соответственно, длины состоит из тензоров где с есть симметризатор Юнга диаграммы пробегает все тензоры ранга с нулевыми следами.. Положение дела, вплоть даже до кратности, с которой входит каждая неприводимая составляющая, будет здесь совершенно выяснено, коль скоро мы будем знать, какая часть группового кольца симметрической группы играет здесь роль определяется как линейная оболочка всех величин с коэффициентами

получаемыми, когда независимо друг от друга пробегают значения от 1 до пробегает все тензоры с нулевыми следами. Это более узко, чем предыдущей главы, где пробегало все тензоры вообще, и потому впредь будет обозначаться через Неприводимое инвариантное подпространство в состоит из всех тензоров вида где есть примитивный идемпотент в групповом кольце группы пробегает В частности, мы можем выбрать в качестве симметризатор Юнга, соответствующий диаграмме т. е. данному разбиению на слагаемые. Из этой связи ясно, что если сначала оперировать в рациональном основном поле и определить неприводимые части над то эти части будут неприводимыми над любым полем над Мы будем знать если будем знать, какие симметризаторы Юнга с переводят каждый тензор с нулевыми следами в нуль: для всех из

Теорема пусто, если только сумма длин первых двух столбцов схемы симметрии не

Это предложение непосредственно вытекает из следующей леммы.

Лемма Тензор

косо-симметричный относительно аргументов каждой строки, лежит в если превосходит и потому равен нулю, если равны нулю его следы. Полилинейную форму вида

косо-симметричную относительно а векторов равно как векторов можно символически представить в виде

с помощью а символических векторов и символических векторов есть определитель скалярных произведений

Каждый член этого определителя есть произведение множителей и так как число символических векторов

меньше то каждый член содержит по меньшей мере один несимволический множитель

Поэтому есть сумма членов, каждый из которых содержит множители вида что и требовалось доказать.

Это доказательство, очевидно, пригодно и для установления справедливости более сильного утверждения, а именно, что лежит в пространстве, обозначенном нами через Поэтому для обращения тензора в нуль достаточно обращения в нуль уже его -кратных следов. Того же результата можно было бы достичь и путем непосредственных комбинаторных рассмотрений.

Диаграммы, у которых совокупная длина первых двух столбцов мы будем называть допустимыми диаграммами. Непосредственно ясно, что их можно распределить на пары "ассоциированных" диаграмм так, что длиной первого столбца в служит число а в -число длины же

остальных столбцов в одинаковы. Диаграмма самоассоциирована, если точно что может произойти лишь в случае четной размерности. Поэтому удобно различать нечетные и четные размерности: или Диаграмму содержащую строк, можно считать содержащей точно строк длин

допуская для некоторых нулевое значение. Мы будем пользоваться обозначением

состоит из полей, из большего их числа, если только не самоассоциирована. Когда пробегают все целые числа, удовлетворяющие условиям (7.2), а принимает значения ассоциированные диаграммы

исчерпывают все допустимые диаграммы. В случае нечетной размерности каждая такая диаграмма получается точно один раз, в случае же четной размерности совпадают, и потому

когда фактически содержит строк: Обращение теоремы тоже верно: Теорема Если допустимая диаграмма, то не пусто.

Пусть содержит строк; обозначим индексы через Определим тензор от таблицы аргументов

следующим образом. Компонента равна нулю, за исключением того случая, когда а) все аргументы в первой строке диаграммы равны 1 или 1, во второй строке — равны 2 или строке — равны или и число аргументов, принимающих значение помеченные звездочкой, четно; для

аргументов же, удовлетворяющих этим двум условиям, принимает значение

Этот тензор симметричен относительно аргументов каждой строки, и следы его, очевидно, равны нулю. Аналогичный тензор получим, заменяя (7.3) на и одновременно требуя, чтобы число было нечетным. Альтернирование относительно столбцов переводит в ненулевой тензор требуемого рода. Словесное описание простой картины, представляемой этим тензором становится уже довольно громоздким. Компоненты равны нулю, если только значения в первом столбце диаграммы не получаются из путем перестановки этих индексов и снабжения некоторых из них звездочкой и аналогично для остальных столбцов, причем число аргументов, принимающих значения звездочкой, должно быть четным. "Старшая" компонента

каждая же транспозиция двух аргументов в одном и том же столбце, равно как и одновременное снабжение двух аргументов звездочками, изменяет значение на

Чтобы достичь того же для ассоциированной схемы мы вместо пользуемся тензором

где

если является, соответственно, четной или нечетной перестановкой чисел в противном случае.

Позже мы будет иметь случай применить следующую операцию: для заданного косо-симметричного тензора ранга мы определяем "дополнительный" косо-симметричный тензор ранга равенством

имеющим место для всякой четной перестановки индексов на время оставляем в стороне вопрос о том, является ли эта операция ортогонально инвариантной.) Если мы применим описанную операцию к аргументам первого столбца тензора косо-симметричного относительно аргументов каждого столбца диаграммы то получим тензор косо-симметричный относительно аргументов каждого столбца диаграммы Т:

В частности, наш тензор переводится этой операцией либо в либо в сообразно четности или нечетности числа замечание, которое следует запомнить для дальнейших целей.

Тем же способом, каким теорема следует из леммы из теорем вытекает теперь:

Теорема Сумма

распространенная на все допустимые диаграммы симметрии, является единицей 1 в

Применение нашей общей теории увенчивает теперь следующая

Теорема под действием расщепляется на неприводимые инвариантные подпространства определяемые; каждое, некоторой допустимой диаграммой симметрии (и соответствующим ей симметризатором с). Различные диаграммы порождают неэквивалентные подпространства. В этом разложении диаграмма появляется раз, где Число, определенное в предыдущей главе формулой (IV.4.5).

Частичные пространства взяты над но остаются неприводимыми над любым полем над х.

Обращаясь к полному тензорному пространству, мы сперва расщепляем на частичные пространства валентностей равенство (6.5). Общий тензор валентности есть сумма членов (6.4), в которых имеет областью значений все пространство Это пространство разлагается на неприводимые инвариантные части относительно алгебры всех бисимметричных подтановок в . Каждая отдельная часть состоит из всех тензоров вида где примитивный идемпотентный оператор симметрии с индексами, а пробегает все Вместо

мы подставляем все существенно различные расстановки ряда Таким образом оказывается суммой некоторого числа неприводимых инвариантных подпространств относительно нашей алгебры которые мы, расположив в каком-нибудь порядке, обозначим через Применяя часто употреблявшуюся лемму мы отбросим те из них, которые излишни, и получим таким образом действительное разложение на независимые неприводимые инвариантные подпространства относительно нашей алгебры

Теорема разложимо на неприводимые инвариантные подпространства относительно алгебры Каждая отдельная часть содержит все тензоры вида (6.4), где пробегает одно из неприводимых подпространств пространства любая допустимая диаграмма с полями, принимает значения Неприводимые части над х остаются "неприводимыми над любым полем над х.

Теорема Каждое инвариантное подпространство пространства разбивается на неприводимые инвариантные части, любая из которых подобна одному из пространств упомянутых в предыдущей теореме.

Более обще: каждое представление алгебры вполне приводимо, и в случае неприводимости эквивалентно представлению порождаемому некоторой допустимой диаграммой с полями.

То обстоятельство, что части (6.4) тонзора соответствующие всевозможным расстановкам (7.6), не являются линейнр

независимыми, не позволяет нам предсказать, сколько эквивалентных неприводимых составляющих каждого сорта появится в разложении пространства Утверждение, подобное приведенному в теореме еще сохраняет силу для валентности однако уже не верно для низших валентностей В этом отношении наш результат менее полон, чем для всей линейной группы. Могло бы притти на ум начать с разложения относительно полной алгебры бисимметричных подстановок, прежде чем расщеплять его на более мелкие части соответственно нашей более узкой алгебре Из (6.5) получаем

где слагаемые в правой части лежат в Для с, соответствующего допустимой диаграмме, это равенство показывает, что "грубая" часть, состоящая из всех тензоров содержит более "тонкую" часть из всех тензоров точно один раз. Это объясняет, почему диаграммы валентности встречаются здесь столь же часто, как и в грубом разложении относительно полной алгебры коль скоро они вообще встречаются.

Теория разложения, развитая в разделе В этой главы, не зависит от результата раздела А, устанавливающего, что есть обертывающая алгебра группы Используя теперь этот последний факт, мы заключаем

Теорема Представление ортогональной группы неприводимо для каждой допустимой диаграммы Различные диаграммы, независимо от того, содержат ли они одинаковое или, различное число полей, приводят к неэквивалентным представлениям.

Теоремы остаются в силе при замене алгебры группой

Относительно двух диаграмм с различным числом полей, следует снова заметить, что обертывающая алгебра содержит элемент, являющийся тождественным преобразованием в и нулевым преобразованием в Последнее утверждение теоремы относится теперь к представлению группы в котором компоненты представляющей матрицы суть полиномы от компонент матрицы А, имеющие формальную степень

Таким образом, мы в итоге вернулись к утверждению, которого началось все наше исследование в этой главе,

а именно, что группа вполне приводима. Однако теперь мы в состоянии явно описать ее разложение и дополнительно узнали, что части, неприводимые над х, абсолютно неприводимы.

Кронекеровское произведение двух построенных нами здесь величин типов расщепляется на некоторое число независимых примитивных величин, каждая из которых снова описывается как величина некоего типа скольку в случае ортогональной группы не существует разницы между ковариантными и контравариантными векторами, представление контрагредиентно самому себе. Таким образом, мы имеем здесь те же самые свойства замкнутости, с которыми мы встретились в § 5 главы IV для величин полной линейной группы.

Окольный путь, которым мы доказали полную приводимость алгебры изображается диаграммой

где стрелку, ведущую к мы сперва не будем принимать во внимание. Но, применяя к ту же общую теорему с помощью которой мы смогли установить связь, изображаемую верхней горизонтальной стрелкой, можно было бы показать, что коммутаторная алгебра алгебры т. е. в ее конкретной форме, вполне приводима. Так как эта конкретная форма является в случае точным представлением, то мы заключаем из теоремы что абстрактная алгебра , или, лучше, ее регулярное представление, при вполне приводимо над рациональным полем х и что части, неприводимые над х, абсолютно неприводимы. Мне представляется весьма сомнительным, чтобы величина числа могла влиять на строение алгебры в такой степени, что наш результат терял бы силу при однако вопрос приходится оставить открытым. Поскольку это касается полного приведения, теорема позволяет нам свободно перескакивать от матричной алгебры к ее коммутаторной алгебре, как указано горизонтальными стрелками; если бы можно было выполнить вертикальный переход непосредственно на левой стороне, не перепрыгивая туда и обратно через канаву, мы, вероятно, были бы в

состоянии разрешить наш вопрос. При настоящем же положении вещей не могу дать читателю возможности расстаться с этой темой без осадка неудовлетворенности.