6. Второй пример: унимодулярная группа SL(n)

Мы рассмотрим вопрос об инвариантах унимодулярной группы сразу для любого числа ковариантных или латинских векторов и любого числа контравариантных или греческих векторов

Теорема (II.6.А).

есть полная таблица типовых базисных инвариантов для унимодулярной группы.

С помощью тождеств Капелли доказательство приводится к случаю, когда дано только латинских и греческих векторов

Нашей целью будет показать, что зависящая от них инвариантная форма может быть выражена через произведений

Предположим, что векторы (6.1) численно заданы произвольным образом, при условии лишь, что определитель

Лемма В предположении (6.2) можно ввести с помощью унимодулярного преобразования новую систему координат так, что совпадут с первыми базисными векторами компонента каждого из и —1 контравариантных векторов обратится в нуль.

Принимая эту лемму за доказанную, мы будем действовать дальше следующим образом. Перед преобразованием имеем

после преобразования:

Вследствие инвариантности форм

кроме того, инвариант зависящий от аргументов (6.3), равен той же функции от аргументов (6.4). Введем полином от переменных с помощью формулы

Последние два замечания приводят тогда к равенству

выполняющемуся при подстановке любых векторов х и удовлетворяющих алгебраическому неравенству (6.2). не есть тождественный нуль, в чем убеждаемся, взяв в качестве как векторов так и векторов первые и — 1 базисных векторов абсолютной системы координат. Поэтому, на основании принципа несущественности алгебраических неравенств, (1.1, А), (6.5) есть тождество,

Доказательство леммы проводится следующим образом. При переходе от абсолютной системы координат к новой системе определенном формулами

векторы совпадут с новыми осевыми векторами Условие унимодулярности нашего преобразования выразится следующим линейным уравнением относительно неизвестных

где миноры матрицы компонент

Произвольный контравариантный вектор преобразуется по формулам

Потребовав, чтобы новые компоненты каждого из наших заданных контравариантных векторов обращались в нуль, мы тем самым присоединим к (6.6) следующие уравнений:

Система (6.6), (6.8) содержит уравнений для неизвестных и имеет однозначно определенное решение, если ее определитель

отличен от нуля. Этого уже было бы достаточно для доказательства нашей основной теоремы, поскольку мы с равным успехом могли бы воспользоваться этим определителем вместо Однако можно показать простым формальным подсчетом, что совпадает с (6.9).

Теорема и ее доказательство справедливы при любом основном. поле k.