4. Теорема Веддербёрна

Мы приходим теперь к связи между проведенным анализом и идеей коммутатора. Она имеет своим источником следующую теорему:

Теорема Если алгебра а содержит единичный элемент то единственными линейными преобразованиями, перестановочными со всеми преобразованиями являются преобразования вида элемент из

Действительно, если такой коммутатор, то мы должны по определению иметь

Положив и применив (4.1) к придем к требуемой формуле для каждого а.

Обозначим через инверсную алгебру алгебры а, т. е. алгебру, отличающуюся от а тем, что теперь произведение двух элементов определяется как а не Тогда наш результат можно выразить так: коммутаторной алгеброй регулярного представления алгебры а служит регулярное представление инверсной алгебры а; таким образом эта связь — взаимная.

В частности, применяем это к алгебре с делением а; тогда оба регулярных представления (а) и (а) неприводимы.

Вернемся снова к нашей простдй алгебре или а. Коммутаторная алгебра алгебры есть in abstracto алгебра с делением (ранга следовательно in concreto - кратное ее регулярного представления таким образом, общая матрица алгебры имеет вид

где пробегает все операторы

порождаемые элементами инверсной алгебры Следовательно, Коммутаторная алгебра алгебры состоит из всех матриц вида

где каждое есть оператор

из регулярного представления (b) алгебры с делением таким образом,

, коммутатор коммутатора алгебры очевидно, содержит . Мы желаем установить тот факт, что совпадает с . Для этой цели заметим, что коммутатор коммутатора алгебры обязательно содержит потому что коммутаторной алгеброй алгебры служит Поэтому, если бы было в действительности шире, чем то это же имело бы место и для и в частности для того кратного алгебры , которое, по теореме Это, однако, противоречит сделанному выше замечанию, что есть коммутатор коммутатора алгебры Таким образом мы получаем возможность заменить равенство (4.4) теоремой Веддербёрна:

Она показывает, что рангом нашей простой алгебры а служит следовательно, упомянутое выше число равно к

Абстрактно говоря, теорема (4.5) утверждает, что наша простая алгебра изоморфна алгебре -строчных матриц,

элементы которых берутся из алгебры с делением, . Она выходит за пределы этого абстрактного утверждения, говоря нам, как получить конкретную матричную форму для а, а именно, путем замены каждого элемента из -строчной матрицей В терминах нормальной формы (4.6) произвольного элемента а из а, уравнение

читается:

Выделение индивидуальных столбцов даст разложение регулярного представления (а) на раз взятое Коммутаторная алгебра , т. е. а потому и однозначно определены представлением

Теорема Связь между неприводимой матричной алгеброй и ее коммутаторной алгеброй взаимна. есть полная коммутаторная алгебра алгебры . выражается посредством однозначно определенной алгебры, с делением ранга как — как Кроме имеем следовательно

Сформулируем здесь специально следующий частный случай этой теоремы:

Теорема Неприводимая алгебра ранга единственными коммутаторами которой являются кратные единичной матрицы (случай есть полная матричная алгебра над потому не приводима в любом поле над "абсолютная неприводимость").

Если алгебраически замкнуто, то единственными коммутаторами алгебры являются кратные единичной матрицы и потому . В этой форме наша теорема принадлежит Бёрнсайду, тогда как общий критерий справедливый при любом поле предложен Фробениусом и И. Шуром.

Элементы а из , перестановочные со всеми элементами

образуют центр алгебры а. Соответствующая матрица А должна одновременно являться некоторой матрицей В из коммутаторной алгебры, т. е. в (4.3), (4.6) мы должны, соответственно, иметь

где обозначает элемент из центра алгебры с делением Поэтому центр алгебры изоморфен центру алгебры с делением Несколько более прямым путем можно притти к тому же результату следующим образом. Беря в матрице входящей в уравнение (4.7), т. е. в

в качестве элементов числа из единица алгебры получаем (4.8), т. е. а тогда (4.9) показывает, что должно быть перестановочно в с каждым х.

Полная взаимность между алгеброй и ее коммутаторной алгеброй достигается лишь при переходе от неприводимого представления нашей простой алгебры а к его кратному Нетрудно видеть, что для этой алгебры, коммутаторной алгеброй служит Строение общих элементов наших двух алгебр указано схемами

где пробегают независимо друг от друга а пробегают Таким образом (изменяя наши обозначения), мы имеем пару алгебр

каждая из которых служит коммутаторной алгеброй для другой; и суть алгебры матриц порядка имеющие, соответственно, ранги

откуда

Эквивалентности (4.11) являются одновременными в том смысле, что алгебры и 33 описываются схемами (4.10) в одной и той же системе координат.