Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 11. Полином ПуанкарэОбразуем в
Линейная подстановка
индуцирует некоторую линейную подстановку в совокупности р-мерных элементов. Обозначая ее след через
Пусть для конечной группы или компактной группы Ли задано представление
В частности, кратностью, с которой в заданное представление входит единичное представление
одновременно это есть и число линейно независимых линейных инвариантов в пространстве представления
линейно зависящих от првизвольного
будет равен
С любой
коэффициентом
линейным и антисимметрическим образом зависящих от
Мы применим эту формулу, в частности, к нашим группам Теорема
Диагональному элементу
унитарной группы соответствует в присоединенном представлении линейное преобразование
Поэтому определитель в (11.2) равен
где
Снова используя разностное произведение
и интеграл квадрата его абсолютной величины 1 1-
находим:
Хотя вычисление элементарного интеграла (11.4) вряд ли кто-нибудь счел бы трудным делом, тем не менее, никому до сих пор не удалось выполнить его прямым способом. Путем подсчета инвариантов он показал, что
т. е.
Использование формулы (11.4) уже для одного значения
Так как это означает, что
то из
Подстановкой Вслед за этим мы должны постараться действительно подсчитать инварианты интересующего нас типа. Элемент А группы
где
Поэтому форму
линейным и антисимметричным образом зависящую от
линейно зависящим от
Эта формулировка дает возможность ввести в действие основную теорему теории инвариантов: любой такой инвариант выражается через произведения
соответствующих каждый некоторой подстановке
Они должны обладать, кроме того, свойством переходить в
и, суммируя по всем
или как комбинацию (11.12), где
Разложим подстановку и на взаимно простые циклы:
Цикл
перестановочна с
на неравные нечетные слагаемые:
Это сразу давало бы неравенство (11.5), если бы можно было запретить длины До сих пор мы пользовались лишь абстрактной схемой подстановок. Указанное ограничение на длины циклов получится, если мы примем во внимание представление подстановки Перемножение двух полилинейных форм
где сумма распространена на все "смеси"
первых
распространенная на все подстановки
с
и умножим его на
Соответствующий член в левой части есть одночлен а, где
Из нашего равенства (11.17):
заключаем, что
и
где
четна. Поэтому подстановка
где многоточием обозначены члены В соединении с (11.6) это не только доказывает нашу теорему, но в то же время устанавливает и линейную независимость базисных инвариантов, к которым приводит наше построение: Теорема (
соответствующие всем разбиениям
линейно независимы и образуют базис для линейных инвариантов Интеграл (11.4) теперь вычислен и, действительно, оказался равен полиному (11.3). Аналогичные результаты могут быть получены аналогичным путем и для ортогональной и симплектической групп. Мы удовольствуемся формулировкой окончательного результата [23]: Теорема
и
|
1 |
Оглавление
|