11. Полином Пуанкарэ

Образуем в -мерном векторном пространстве одно-, двух-, трех-, -мерные элементы, натянутые на вектора с компонентами

Линейная подстановка

индуцирует некоторую линейную подстановку в совокупности р-мерных элементов. Обозначая ее след через имеем соотношение

Пусть для конечной группы или компактной группы Ли задано представление с характером Оно будет разложимо на неприводимые представления согласно формуле (1.1). С помощью соотношений ортогональности находим;

В частности, кратностью, с которой в заданное представление входит единичное представление служит среднее значение

одновременно это есть и число линейно независимых линейных инвариантов в пространстве представления Мы хотим определить число инвариантов

линейно зависящих от првизвольного -мерного элемента в (Записанные в форме (11.1), коэффициенты будут косо-симметричны.) Сделанное выше замечание показывает что полином с коэффициентами

будет равен

С любой -параметрической группой Ли ассоциируется присоединенное представление

-мерное векторное пространство которого образуют инфинитезимальные элементы группы. Полином

коэффициентом которого служит размерность линейной совокупности всех инвариантов

линейным и антисимметрическим образом зависящих от инфинитезимальных элементов нашей группы, Э. Картан назвал "полиномом Пуанкарэ этой группы. В случае компактной группы он задается формулой

Мы применим эту формулу, в частности, к нашим группам и предварительно введя в них унитарное ограничение. В следующей главе мы увидим, что коэффициенты в то же время имеют для группового многообразия глубокий топологический смысл,

Теорема Полиномом Пуанкарэ группы является

Диагональному элементу

унитарной группы соответствует в присоединенном представлении линейное преобразование

Поэтому определитель в (11.2) равен

где

Снова используя разностное произведение

и интеграл квадрата его абсолютной величины 1 1-

находим:

Хотя вычисление элементарного интеграла (11.4) вряд ли кто-нибудь счел бы трудным делом, тем не менее, никому до сих пор не удалось выполнить его прямым способом. Брауэр поступил следующим образом

Путем подсчета инвариантов он показал, что мажорируется полиномом (11.3),

т. е.

Использование формулы (11.4) уже для одного значения приводит, как будет ниже показано, к равенству

Так как это означает, что и при имеют совпадающие значения:

то из и следуют требуемые равенства При находим в (11.4):

Подстановкой сразу убеждаемся, что интеграл произведения по изменяющимся от до 1, совпадает с таким же интегралом для Отсюда и следует (11.6).

Вслед за этим мы должны постараться действительно подсчитать инварианты интересующего нас типа. Элемент А группы индуцирует в присоединенной группе преобразование

где обозначает переменную матрицу. Типовой матрицей служит произведение столбца х на строку : Действительно, под влиянием линейного преобразования ковариантного "вектора контравариантный вектор переходит в и потому

Поэтому форму

линейным и антисимметричным образом зависящую от матриц X и инвариантную относительно подстановок (11.7), можно без опасения заменить инвариантом

линейно зависящим от ковариантных и контравариантных векторов

Эта формулировка дает возможность ввести в действие основную теорему теории инвариантов: любой такой инвариант выражается

через произведения и потому является линейной комбинацией инвариантов

соответствующих каждый некоторой подстановке

индексов. Если мы, как в § 5 главы V, воспользуемся и для "одночлена" (11.11) символом а, то все наши инварианты примут вид

Они должны обладать, кроме того, свойством переходить в когда обе последовательности (11.10) подвергнуты одной и той же подстановке со знаком плюс для четных и минус для нечетных Так как эта операция превращает одночлен а в то получаем:

и, суммируя по всем получаем в виде линейной комбинации инвариантов частного вида

или как комбинацию (11.12), где

Разложим подстановку и на взаимно простые циклы:

Цикл перестановочен с а. Если четно, то нечетная подстановка, и (11.14) дает подстановками, действительно порождающими члены в сумме (11.12), служат лишь подстановки а, состоящие из одних циклов нечетных длин Если то нечетная подстановка

перестановочна с так что и случай исключен. Мы приходим к выводу, что частных инвариантов (11.13) существует столько, сколько разбиений числа

на неравные нечетные слагаемые:

Это сразу давало бы неравенство (11.5), если бы можно было запретить длины .

До сих пор мы пользовались лишь абстрактной схемой подстановок. Указанное ограничение на длины циклов получится, если мы примем во внимание представление подстановки одночленом (11.11) с векторами в -мерном пространстве.

Перемножение двух полилинейных форм типа (11.8) степеней одна из которых зависит от матриц а другая — от других матриц дает полилинейную форму степени Однако коэффициенты произведения не будут уже, подобно коэффициентам форм (о и антисимметричны. Этот недостаток устраняется альтернированием по аргументам X:

где сумма распространена на все "смеси"

первых индексов со следующими индексами Форму (11.16) мы будем обозначать через Таким путем (11.13), получается как произведение где есть альтернированная сумма

распространенная на все подстановки индексов Следовательно, нам надлежит доказать, что если нечетно, то выражается в виде комбинации тех которые соответствуют подстановкам а индексов разбивающимся на циклы длин Возьмем тождество

с

и умножим его на

есть подстановка

Соответствующий член в левой части есть одночлен а, где

Из нашего равенства (11.17):

заключаем, что

циклу . Если — также цикл длины то четны; поэтому четно, Предположим, что это событие наступает раз; оно происходит по крайней мере однажды, а именно, когда есть тождество. Если а есть просто цикл длины то оно имеет следующий вид:

и

где обозначает подстановку

оставляет неизменным и обращает пары Транспозиция двух пар, как

четна. Поэтому подстановка четна, и все членов соответствующих циклическим с одним и тем же знаком. Следовательно, (11.18) превращается в равенство

где многоточием обозначены члены соответствующие подстановкам а, разбивающимся на циклы длины, меньшей чем

В соединении с (11.6) это не только доказывает нашу теорему, но в то же время устанавливает и линейную независимость базисных инвариантов, к которым приводит наше построение: Теорема ( Инварианты

соответствующие всем разбиениям числа на нечетные неравные слагаемые меньшие

линейно независимы и образуют базис для линейных инвариантов -той степени присоединенной группы.

Интеграл (11.4) теперь вычислен и, действительно, оказался равен полиному (11.3).

Аналогичные результаты могут быть получены аналогичным путем и для ортогональной и симплектической групп. Мы удовольствуемся формулировкой окончательного результата [23]:

Теорема Полиномами Пуанкарэ групп с одной стороны, и группы — с другой, служат, соответственно,

и