17. Вторая основная теорема для ортогональной группы

Если группа всех собственно и несобственно ортогональных преобразований, то имеется только один тип базис-", ного инварианта, а именно скалярное произведение Типовым соотношением между скалярными произведениями является следующее, содержащее векторов векторов у;

Теорема (Вторая основная теоремадля ортогональной группы.) Каждое соотношение между скалярными произведениями является алгебраическим следствием соотношений типа

При заданных латинских "символах" "соотношение" есть полином от переменных обращающийся в нуль при замене символов произвольными векторами, а переменных -скалярными произведениями соответствующих пар векторов , ("подстановка"). Мы уславливаемся и с формальной точки зрения рассматривать как одну и ту же переменную. При замене "букв" в выражении любыми из "символов" х необходимо позволить заменять букву у тем же символом что и букву однако, заменять различные буквы х (или у) одним и тем же символом бесполезно, поскольку все выражение косо-симметрично относительно Выражения, получающиеся из описанными заменами букв х и у символами во всех возможных комбинациях, образуют базис идеала и в точной формулировке вторая основная теорема утверждает, что каждое соотношение сравнимо с по модулю

Доказательство снова проводится с помощью сравнения Капелли. Формальное определение поляризации здесь таково: если ни , ни не равны если и отлично от Правила а) и § 15 остаются в силе; а) достаточно сохранить лишь для случая Образуя (15.1), мы получим некоторую совокупность членов, устроенных совершенно аналогично с (15.2):

но как раз эти члены по модулю определенного выше идеала Однако, это — не единственная могущая теперь представиться возможность. Предположим, что некоторый член выражения содержит, например, множитель и что первая поляризация производится над этим множителем; он переходит тогда в Вторая поляризация произведенная над этим множителем в его новой форме, превратит его в Поэтому следовало бы считаться с возможностью, что вместо знакопеременной суммы в (17.1) могла бы появиться другая, общий член которой, наряду с переменными типа содержит также переменные типа объединяющие пару новых символов х. Но тогда в силу условия определенно будет равно 0. Следовательно, сравнение Капелли оказывается справедливым по модулю введенного здесь идеала, базис которого состоит лишь из выражений типа

Применяя это сравнение, можно постепенно довести число переменных до Для завершения доказательства мы должны показать, что полином от переменных

будет нулем до подстановки, если он обращается в нуль после подстановки. В § 2 мы упомянули доказательство этого, основанное на том факте, что (над полем К вещественных чисел) векторы можно определить так, чтобы скалярные произведения (17.2) образовывали произвольно предписанную симметричную матрицу, в предположении, что квадратичная форма с этой матрицей коэффициентов является положительно определенной.

Здесь мы предпочтем вместо этого дать прямое алгебраическое доказательство, основанное на индукции от к и сохраняющее силу при любом основном поле. Для этой цели

мы воспользуемся следующими двумя простыми леммами об обращении полиномов в нуль:

1) Полином от переменной тождественно равен нулю, если где а — фиксированное число кольца, из которого взяты коэффициенты полинома

2) Полином от переменных тождественно равен нулю, если тождественно равен нулю как полином от переменных полином где связаны с переменными невырожденным линейным преобразованием

Предположим численно заданными и линейно независимыми векторами в подпространстве всех векторов, у которых последняя компонента равна нулю. Тогда эти векторов

из будут иметь определитель Будем рассматривать остающийся вектор

как переменную. Тогда (после подстановки)

Выполним теперь «частичную подстановку», заменив переменные

скалярными произведениями постоянных векторов (17.3). Заданный полином зависящий теперь от переменных , можно рассматривать как полином от с коэффициентами из кольца полиномов от переменных

Полагая

и принимая во внимание, что после подстановки обращается в нуль, имеем

Поэтому

тождественно по переменной где

Обращение в нуль полинома следует теперь из (17.6) по первой лемме, а обращение в нуль всех его коэффициентов влечет за собой обращение в нуль полиномов тождественно относительно переменных по второй лемме.

Коэффициентами полинома от служат полиномы от выражений (17.4). Относительно каждого такого коэффициента мы видели, что он обращается в нуль при подстановке вместо скалярных произведений векторов пространства имеющих определитель Ограничение, накладываемое этим алгебраическим неравенством, несущественно. Предполагая доказываемое предложение справедливым в мы вправе из обращения в нуль коэффициентов после подстановки заключить, что они равны нулю и до подстановки. Это завершает доказательство, приводя к формальному тождеству

Во вторую очередь рассмотрим группу всех собственно ортогональных преобразований. К типовому инварианту надлежит теперь присоединить, в качестве дополнительного фундаментального инварианта, компонентный определитель а к соотношениям типа соотношения еще следующих двух типов:

Вторая основная теорема утверждает, что этот перечень типовых соотношений для группы является исчерпывающим.

Доказательство. Прежде всего заданное соотношение можно привести по модулю типа к виду, не содержащему никаких произведений двух компонентных определителей, т. е.

где есть функция от

— линейная комбинация членов вида

С помощью несобственно ортогонального преобразования, например посредством изменения знака компоненты у всех векторов, сразу убеждаемся в том, что сами являются соотношениями. Тогда доказательство, только что проведенное нами для полной ортогональной группы, показывает, что до подстановки должно быть сравнимо с по модулю типа То же самое рассмотрение, что и проведенное в § 16 для случая присутствия компонентных определителей, показывает здесь, что для имеет место сравнение Капелли по модулю типа Соотношение входящее там наряду с здесь не появляется, поскольку каждый член суммы О содержит множителем только один компонентный определитель. С помощью сравнения Капелли общее О сводится к содержащему не более латинских символов

Если соотношение, то то же верно и для но мы видели, что в таком случае а потому и должно до подстановки обращаться в нуль.