ГЛАВА VII. ХАРАКТЕРЫ

1. Предварительные сведения об унитарных преобразованиях

В тех случаях, когда имеет место полное разложение на абсолютно неприводимые составляющие, характеры могут служить для однозначного (в смысле эквивалентности) описания представлений. Действительно, при указанном сейчас условии характеры неэквивалентных неприводимых представлений линейно независимы, и если какое-либо представление с характером расщепляется на от раз взятую первую неприводимую составляющую, от раз взятую вторую, то мы получаем равенство

Поэтому характером однозначно определяются коэффициенты его разложения (1.1) по примитивным характерам кратности от, вполне описывают рассматриваемое представление На этом замечании основывается калькулятивное оперирование с представлениями с помощью их характеров. Упрощение, вызываемое такой заменой, очевидно; в частности, формальные операции -Ц X, применяемые к представлениям, выражаются обычными сложением и умножением характеров. Поэтому в настоящей главе мы предпримем вычисление характеров тех представлений полной линейной, ортогональной и симплектической групп, которые были получены в предыдущих главах путем приведения тензорного пространства. Последняя процедура, несмотря на свою явно алгебраическую природу, отнюдь не доставляет простых явных формул для характеров. Для нахождения таких формул нужно обратиться к трансцендентным методам — к процессам интегрирования, распространенного на все групповое многообразие.

Разумеется, это осуществимо лишь в предположении, что основное числовое поле является континуумом. Мы воспользуемся континуумом К обыкновенных комплексных чисел. Тем не

менее, наши результаты окажутся справедливыми для любого числового поля характеристики нуль по той же причине, что и раньше: они формулируемы в терминах рационального основного поля х, которое, в свою очередь, вкладывается в континуум К. Таким образом, наше исследование дает новый пример применения анализа к чисто рациональным алгебраическим вопросам.

Интегрирование по многообразию возможно без каких бы то ни было усложняющих ограничений, относящихся к сходимости, лишь когда представляет собой, в топологическом смысле, компактное множество. Поэтому мы прибегаем к тому, что можно было бы назвать унитарным, приемом: каждая группа заменяется подгруппой тех ее элементов, которые являются унитарными преобразованиями. В предыдущей главе мы с успехом применили эту идею к симплектической группе. Она же неявно содержалась и в нашем оперировании с ортогональной группой; действительно, там унитарными являлись вещественные элементы группы В случае полной линейной группы мы до сих пор обходились без каких бы то ни было унитарных ухищрений, но теперь мы проиллюстрируем наш метод как раз на примере группы самой простой из всех рассматривавшихся нами групп. Успех его обязан тому обстоятельству, что при унитарном ограничении не теряется ничего алгебраически существенного.

Алгебраическая несущественность унитарного ограничения. Рассмотрим любую из групп

и произвольный полином зависящий от переменных компонент общей -строчной матрицы

Лемма Полином обращающийся в нуль для всех унитарных элементов А из равен нулю на всем

Элемент А унитарен, если

для инфинитезимальных же подстановок унитарное ограничение выражается соотношениями

Если положить

то (1.3) будет означать требование вещественности параметров и. Общий инфинитезимальный элемент каждой из групп линейно зависит от некоторого числа параметров и и, таким образом, имеет своей областью изменения некое линейное множество инфинитезимальную группу. Надлежащим выбором базиса в можно добиться того, чтобы унитарными были те, у которых параметры а имеют вещественные значения. Знакомое нам равенство

устанавливает взаимно однозначное соответствие между неисключительными элементами А группы и неисключительными элементами инфинитезимальной группы; и правая и левая части этого равенства допускают унитарное ограничение (1.2), соответственно (1.3). Для завершения доказательства остается призвать на помощь следующее предложение.

Лемма Полином равен нулю для всех элементов А из если при подстановке (1.5) он обращается в нуль тождественно относительно параметров в инфинитезимальных элементов (а в случае еще при подстановке одного несобственного

Для ортогональной группы эта лемма была явно доказана нами при изучении ортогонального идеала. Тем же путем проводится доказательство и для Для группы же не требуется вообще никакого доказательства, поскольку единственное ограничивающее условие, налагаемое предположением леммы на аргументов в уравнении а именно неравенство сразу устраняется хорошо известным нам способом.

Если полином равен нулю для всех унитарных элементов А из то мы имеем, в частности, численное уравнение

(плюс уравнение при ), выполняющееся всех вещественных значений , удовлетворяющих условию

Но это влечет за собой, что (1.6) выполняется тождественно относительно переменных а, и тем самым лемма получается как следствие леммы

Изощренный в алгебре читатель заметит, что наша лемма сохраняет силу в любом поле над гауссовским полем даже если уравнение предполагается лишь для унитарных матриц из элементы которых лежат в Эта лемма эквивалентна утверждению, что обертывающие алгебры и групп подстановок и индуцируемых элементами группы не сузятся при наложении унитарного ограничения на

Поэтому части на которые разлагается тензорное пространство относительно группы останутся неприводимыми даже при сужении полной линейной группы до унитарной группы

Компактность. Унитарная матрица над удовлетворяет соотношениям

или

Поэтому

т. е. по абсолютной величине равен 1. Равенства

получающиеся из (1.8) при показывают, что каждое по абсолютной величине В силу хорошо известного принципа предельных точек Вейерштрасса это влечет за собой компактность унитарной группы: для каждой заданной последовательности

унитарных матриц существует унитарная (предельная) матрица такая, что во всякой ее окрестности содержится по крайней мере одна из матриц

как бы велико ни было взято

Преобразование к главным осям. Пусть задано унитарное отображение

пространства на себя. Мы утверждаем, что в надлежащей унитарной системе координат у, получающейся из первоначальной системы с помощью унитарного преобразования это отображение принимает "диагональный" вид

где коэффициенты по абсолютной величине равны 1. Иными словами,

оказывается диагональной унитарной матрицей

Теорема (VII.1.С). Любое заданное унитарное отображение надлежащих унитарных координатах принимает диагональный вид

Или: в унитарной группе каждый элемент А сопряжен с каким-нибудь диагональным элементом

Доказательство. Выберем в качестве корень характеристического уравнения

Тогда существует ненулевой вектор такой, что

Путем классического индуктивного построения можно определить унитарную систему координат первый фундаментальный вектор которой, с точностью до положительного

численного множителя, совпадает с Имеем тогда

т. е. в новой системе координат матрица отображения А имеет в качестве первого столбца

Сумма квадратов абсолютных величин его членов должна равняться 1; поэтому Но в то же время и сумма квадратов абсолютных величин членов первой строки должна быть равна 1:

Отсюда

т. е.

и, следовательно, наша матрица разлагается по схеме

Матрица где пробегают значения от 2 до является -мерной унитарной матрицей. Тем самым наше предложение об -мерных унитарных матрицах сведено к соответствующей теореме для измерений.

Элементы диагональной матрицы очевидно, являются корнями характеристического уравнения

и тем самым, с точностью до порядка нумерации, однозначно определяются матрицей А. Порядок остается действительно произвольным, т. е. две диагональные матрицы

сопряжены, если (и только если) получаются из путем перестановки. Полагая

мы вводим вещественных "углов" отображения А.

При этом угол следует брать по модулю 1, т. е. означают тот же угол, что и

Теорему относящуюся к одной унйтарной матрице, можно распространить на любое множество перестановочных друг с другом унитарных матриц (коммутативное множество):

Теорема Все унитарные преобразования из заданного коммутативного множества можно выбором надлежащей унитарной системы координат одновременно привести к диагональному виду.

Разбивая "собственные значения" или корни унитарного отображения А на группы равных, мы можем сформулировать предложение следующим образом: разложимо на взаимно перпендикулярные подпространства так, что 1) каждое инвариантно относительно А и 2) операция А является в простым умножением всех векторов на некоторое число причем эти множители различны для различных и в содержится каждый вектор х, для которого

Пусть В — произвольный (унитарный) оператор, перестановочный с я утверждаю, что пространства инвариантны также относительно В. Действительно, если принадлежит пространству т. е. удовлетворяет соотношению (1.10), то это же имеет место и для

Это замечание дает возможность перенести наше предложение на любое коммутативное множество унитарных операторов другими словами, разложимо на перпендикулярные подпространства инвариантные относительно и 2) такие, что каждый оператор А из сводится в к умножению. Действительно, пусть разложено на инвариантные подпространства причем, однако, один по крайней мере оператор из в одном из этих подпространств, например, в не сводится к умножению. является в унитарным оператором, и потому можно расщепить на взаимно перпендикулярные

подпространства так, что они будут инвариантны относительно причем в каждом из них будет уже простым умножением (на различные числа Тогда, согласно нашему замечанию, которое надо теперь применить вместо к составляющие инвариантны относительно всех операторов А из поскольку последние перестановочны с А. Так как оператор не является в умножением, то число слагаемых в разложении

самое меньшее, равно 2. Тем самым наше разбиение пространства на инвариантные подпространства подверглось дальнейшему дроблению — процесс, который необходимо должен остановиться, самое большее, через шагов.