12. Связность классических групп

Теорема Группа унимодулярных унитарных преобразований сдносвязна.

Я дам набросок доказательства, которым обязан устному сообщению Витольда Гуревича; как и в других топологических рассмотрениях, я не буду входить здесь во все детали .

содержит как подгруппу своих матриц вида

Два элемента из лево-эквивалентны по модулю этой подгруппы, т. е. принадлежат одному и тому же смежному классу по в том и только в том случае, если они имеют общий первый столбец

он является вектором длины 1:

При любой такой вектор а служит первым столбцом в некотором элементе из действительно, всегда можно определить унитарный унимодулярный векторный базис первым членом которого служит . Поэтому многообразие рассматриваемых смежных классов топологически эквивалентно -мерной сфере (12.1) в эвклидовом пространстве с вещественными координатами Эта сфера односвязна. Замкнутая кривая (цикл) С на есть в то же время цикл в многообразии смежных классов. Как таковой мы можем стянуть ее в единичную точку и тем самым деформировать С в цикл на подгруппе Начатая так индукция по может быть доведена до . А так как состоит из одного, лишь элемента 1, то в результате нам удастся тогда шаг за шагом стянуть С в единичную точку на

Проведенное рассуждение как раз в этом последнем пункте теряет силу для полной группы есть окружность, составленная из всех комплексных чисел, равных по абсолютной величине 1, а окружность бесконечно связна: ее универсальным накрывающим многообразием служит спираль с бесконечным

числом витков. Каждый цикл С на деформируем в кратное цикла описываемого элементом

когда изменяется от до 1. Вещественная функция определенная на формулой (являющаяся многозначной, но не разветвленной), сразу показывает, что никакое кратное цикла не Универсальное накрывающее многообразие группы состоит из бесконечного множества "витков"; его группа накрывающих преобразований является бесконечной дискретной циклической группой.

Рассуждение Гуревича применимо к вещественной собственно ортогональной группе и показывает, что любой цикл на кратному цикла описываемого элементом

При никакое такое кратное не 0. Однако на тем более, на при. имеем Это доказывается либо с помощью кватернионного представления вращений в трехмерном пространстве, отображающего трехмерную сферу в четырехмерном пространстве на так, что диаметрально противоположные точки отождествляются, либо с помощью следующей картины. Берем два телесных прямых круговых конуса раствора с общей вершиной, касающихся по образующей, один из которых неподвижен, а другой катится по нему. Катящийся конус совершает замкнутое движение, совпадающее с для и приближающееся к покою при Таким образом, непрерывной вариацией параметра а деформируется в точку 1. Пока еще не закрыта возможность самому циклу стать для некоторых достаточно больших . Что это, тем не менее, не имеет места, легче всего доказывается прямым построением простейшего из двузначных представлений, так называемого спинорного представления, впервые открытого и описанного в инфинитезимальной форме Картаном. Дирак обнаружил, что спиноры для (четырехмерный пространственно-временной мир) отвечают в квантовой теории вращению электрона; отсюда и наименование. Существование спиноров является столь важной особенностью ортогональной группы, что

в следующем параграфе мы дадим краткое их алгебраическое описание

Унитарная симплектическая группа представляет лучший случай применить рассуждение Гуревича; для нее индукция доводится прямо до Смежный класс элемента А из по модулю характеризуется первыми двумя столбцами этого элемента

Они должны удовлетворять условиям

Вводя а по формуле видим, что равенство (12.2), т.е.

совместимо с

лишь если Действительно,

Следовательно, в качестве необходимых и достаточных условий получаем:

Смежные классы образуют многообразие, топологически эквивалентное -мерной сфере.

Между прочим, способ Гуревича дает наиболее простой путь вычисления размерности каждой из наших групп.

Теорема при имеет универсальное накрывающее многообразие, состоящее из двух листов; односвязна для каждого