15. Первая основная теорема для конечных групп
Элементарное доказательство для конечных групп, не зависящее от общей теоремы Гильберта о полиномиальных идеалах, дала Э. Нетер 
. Вот предложенное ею прямое построение, в применении к заданной группе линейных подстановок
Записываем любой инвариант 
в виде
и рассматриваем правую часть, как функцию от 
независимых переменных 
качестве таковой она является симметрической функцией от 
векторов
-мерного векторного пространства в смысле, определенном в § 3 главы II, и тем самым выражается через поляризованные элементарные симметрические функции. Эти функции можно определить как коэффициенты 
в произведениях
содержащих, кроме 
неизвестные 
и образованных для всех возможных комбинаций из аргументов 
Функции, получаемые из
путем подстановки (15.1), образуют целый рациональный базис для инвариантов нашей конечной группы. Все они — степеней 
и число их есть
Ничего более явного нельзя было бы и требовать.
