4. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ МАЯТНИКОВЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ

На рис. 2, в изображена центрированная система с маятниковым центробежным вибровозбудителем. Систему называют центрированной: а) если в среднем положении качающегося маятника 3 центр масс В исполнительного органа ось О шарнира маятника, центр массы маятника и ось вращения дебаланса 4 лежат на одной прямой; б) если направления равнодействующих упругих сил и диссипативных сил, приложенных к исполнительному органу со стороны внешней среды, проходят через центр масс всей системы, когда маятник находится в среднем положении, а масса дебаланса принята сосредоточенной на оси его вращения; в) если одна из главных осей жесткости и одна из главных осей демпфирования связей исполнительного органа с внешней средой совпадают с прямой

Для поддержания маятника в положении равновесия под требуемым углом к вертикали в конструкции маятникового вибровозбудителя предусматривают упругую втулку в шарнире О или упругие элементы (показаны перекрестной штриховкой). Введем следующие обозначения масса дебаланса, маятника и исполнительного органа (включая основание 1 маятника) соответственно; момент инерции маятника относительно оси шарнира; коэффициенты угловой жесткости и угловою сопротивления втулки в шарнире маятника; суммарные коэффициенты жесткости и сопротивления упругих элементов; коэффициенты жесткости и сопротивления упругой и диссипативной связей маятника с окружающей средой; коэффициенты жесткости и сопротивления связей исполнительного органа с внешней средой при его поступательном движении вдоль оси х, с которой совпадает среднее положение линии

— расстояния от оси шарнира маятника соответственно до центра масс исполнительного органа, центра массы маятника, оси вращения дебаланса, линии действия упругой, а также диссипативной силы перекрестно заштрихованных элементов, упругой и диссипативной реакций среды; эксцентриситет массы

дебаланса относительно его оси вращения; — постоянная угловая скорость дебаланса; а — угол между вертикалью и осью ускорение свободного падения; время; фаза дебаланса, отсчитываемая от положительного направления оси угол малого поворота маятника, отсчитываемый от его среднего положения; — координаты центра массы и угол малого поворота исполнительного органа, отсчитываемые от его среднего положения.

Обычно в случаях применения маятниковых вибровозбудителей ставят задачу обеспечения одномерного движения исполнительного органа — его поступательной прямолинейной вибрации вдоль оси х. Для нахождения условий, при которых в системе с четырьмя степенями свободы (обобщенные координаты окажутся реализованными две степени свободы (колебания координат подставим в линеаризованные дифференциальные уравнения движения исходной системы с четырьмя степенями свободы (которые мы не приводим) значения

в результате чего получим [5]

Первое дифференциальное уравнение (7) описывает одномерные колебания исполнительного органа. Остальные три дифференциальных уравнения (7) описывают качания маятника и различаются между собой только коэффициентами при функции и ее производных. Они имеют вид

Их частные интегралы, соответствующие установившимся качаниям, должны быть идентичными. В таком случае должны быть выполнены равенства

Сравнивая второе и третье уравнения (7) с учетом (9), получаем откуда

поскольку Сравнивая те же уравнения с учетом (10), получим откуда

Из сравнения второго и четвертого уравнений (7) с учетом (10) и (12) находим, что

Из сравнения тех же уравнений с учетом (9) и (11) находим, что

Равенства (11) — (14) представляют собой необходимые и достаточные условия выполнения тождеств (6). Итак, для того чтобы исполнительный орган в центрированной системе с маятниковым центробежным вибровозбудителем совершал поступательные прямолинейные колебания, диссипативные и упругие связи маятника с исполнительным органом должны отсутствовать, линия действия диссипативной реакции внешней среды, приложенной к маятнику, должна проходить через ось

вращения дебаланса, расстояние от оси качания маятника до оси вращения дебаланса должно соответствовать равенству (14).

Хотя первое из перечисленных условий [равенства (11) и (12)] не может быть осуществлено полностью, обычно связи маятника с основанием делают весьма податливыми с малой диссипацией энергии. Поэтому влиянием таких связей можно пренебречь. В числителе и знаменателе правой части равенства (14) вторые члены, как правило, малы по сравнению с соответствующими первыми членами. Поэтому в обычных случаях можно пользоваться упрощенной формулой

т. е. ось вращения дебаланса должна находиться в центре удара маятника.

В упомянутых линеаризованных дифференциальных уравнениях движения не был принят во внимание такой нелинейный фактор, как центробежная сила, развиваемая маятником при его качаниях и воспринимаемая шарниром. Текущее значение этой силы

Рассмотрим в первом приближении влияние этого фактора. В случае выполнения тождеств (6) качания маятника согласно четвертому уравнению (7) совершаются по закону

где угол сдвига фазы угла от фазы вращения дебаланса; амплитуда угла качаний маятника, которая при выполнении условия (15) может быть представлена зависимостью

На основании этого

Если пренебречь малыми силами упругих и диссипативных связей исполнительного органа с внешней средой, то определяемая первым дифференциальным уравнением (7) амплитуда перемещения при установившейся вибрации с частотой со

Амплитуда второй гармоники перемещения исполнительного органа под действием силы, определяемой вторым слагаемым правой части равенства (18), при тех же условиях

Кроме того, первое слагаемое правой части равенства (18) вызовет смещение среднего положения исполнительного органа при вибрации от положения равновесия на величину

Следовательно, рассмотрение в первом приближении показывает, что центробежная сила, развиваемая качающимся маятником, вызывает, во-первых, появление второй гармоники колебаний исполнительного органа, причем амплитуда второй гармоники перемещения, определяемая (20), невелика по сравнению с амплитудой первой гармоники, так как амплитуда угла качания маятника мала; во-вторых, определяемое (21) смещение среднего положения колеблющегося исполнительного органа, которое может быть не малым, если мал коэффициент жесткости В первом приближении мы не рассматривали обратного влияния колебаний исполнительного органа на качания маятника. Дальнейшие приближения показывают, что как колебания исполнительного органа, так и качания маятника складываются из бесконечного ряда гармоник, амплитуды которых быстро убывают с возрастанием номеров гармоник.

Среднее положение качающегося маятника также смещено от положения равновесия. Если двигатель встроен в маятник, то угловое смещение

происходит в сторону, противоположную направлению вращения дебаланса. Если двигатель находится вне маятника и вращение дебалансу сообщает карданный или гибкий вал, присоединенной массой которого можно пренебречь, то смещение

происходит в сторону вращения дебаланса. В этих формулах средняя механическая мощность, развиваемая на валу электродвигателя; мощность, необходимая для преодоления диссипативных сопротивлений вращению дебалансного вала. Знак плюс перед последним членом в квадратных скобках ставят, когда центр массы маятника в среднем положении выше, чем в положении равновесия, а знак минус — когда он ниже.

Текущее значение мощности в колеблющейся системе, как показывает (41) гл. VIII, можно разделить на две аддитивные компоненты: постоянную компоненту, равную и вызывающую отклонение среднего положения маятника при встроенном двигателе согласно (22), и компоненту, колеблющуюся с частотой Последняя компонента возбуждает вторую гармонику качаний маятника при встроенном двигателе. Вторая гармоника обнаруживается в первом приближении. Последующие приближения показывают наличие бесконечного ряда гармоник качания маятника с амплитудами, быстро убывающими с возрастанием номеров гармоник.

Возбуждение высших гармоник как центробежной силой качания маятника, так и колебаниями мощности встроенного двигателя представляют собой нелинейные эффекты, и поэтому к ним неприменим принцип суперпозиции. Их следует рассматривать совместно, что позволяет учесть их взаимное влияние.