4. МОДЕЛИ ТИПА СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Исследователи, изучающие движение сыпучей среды, из общих законов механики могут предсказать основные качественные черты движения. Поэтому к математическим способам описания неизвестных эмпирических зависимостей, в которых выбор вида аппроксимирующей функции осуществлен формальным образом, обычно не прибегают. Наиболее привычной формой описания движения являются дифференциальные уравнения. Достаточно просто решаются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому сплошную среду описывают моделью, состоящей из системы твердых тел, связанных взаимно и с поверхностью лотка со стандартными элементами линейной упругости, линейной вязкости, сухого трения с постоянными коэффициентами и простейшими ударными элементами. Такие модели позволяют получить общее решение, поэтапно используя решения линейных систем. Число масс упругих, вязких, ударных элементов сухого грения определяет число постоянных, подлежащих определению из эксперимента. С увеличением числа элементов возрастает точность описания экспериментальных результатов. Такие модели способны описывать с достаточной точностью все необходимые зависимости вектор а — совокупность всех параметров, влияющих на пространство параметров, в котором ведется эксперимент. Решение дифференциальных уравнений движения дает теоретические значения Но эти значения зависят от численных значений параметров модели Их определяют, минимизируя квадратическую ошибку между экспериментальными значениями и теоретическими значениями подсчитанными при тех же комбинациях параметров при

которых имеем экспериментальные результаты

Здесь коэффициент, учитывающий важность совпадения теоретических значений именно в 1-й точке. Если точность аппроксимации должна быть одинаковой (или важность учтена плотностью размещения экспериментальных точек), то знаменателе приведен квадрат среднего значения показателя для нормирования и возможности суммирования ошибок по всем показателям Удельный вес учитывает важность каждого показателя точнее, важность более точной аппроксимации данного Постоянные модели определяются минимизацией т. е. формально из системы уравнений

Провести аналитический расчет удается только для моделей, не содержащих элементы сухого трения и ударных элементов. Однако именно эти элементы являются определяющими при исследовании вибрационных перемещений. Поэтому наиболее разумным является применение процедуры поиска экстремума в -мерном пространстве параметров Применяя эту процедуру, решение системы дифференциальных уравнений модели ведут численно на той же ЭЦВМ для каждой выбранной комбинации значений параметров Для относительно хорошо исследованных моделей процедуру поиска можно начинать от хорошего начального приближения значений параметров и программы поиска локального экстремума, что быстро ведет к результату.

Модели типа систем твердых тел в настоящее время являются наиболее широко используемыми. Эти модели целесообразно применять в случае, когда необходимо прогнозировать поведение сыпучей среды за областью эксперимента или предсказать поведение характеристик, трудно измеряемых в эксперименте. Модельное представление является основой для наиболее правдоподобных прогнозов в новых областях. Это представление имеет и свои недостатки — большая трудоемкость получения практических рекомендаций, так как приходится решать систему дифференциальных уравнений.

Если необходимо установить зависимости между экспериментально определенными величинами в том же диапазоне параметров, то предпочтение надо отдать простой аппроксимации экспериментальных результатов. Непосредственное получение рабочей формулы является менеетрудоемкой операцией, чем определение Эту аппроксимацию с высокой точностью в широком классе функций по экспериментальным данным в настоящее время можно выполнить на любой ЭЦВМ.

Двухмассная инерционная модель. На рис. 27 представлена двухмассная инерционная модель [16], которая позволяет моделировать упруговязкие и пластические свойства различных сыпучих тел. В качестве примера рассмотрим общий случай вибротранспортирования сыпучего тела по грузонесущему органу вибрационной транспортирующей машины, совершающему прямолинейные колебания.

Модель представляет собой двухмассную колебательную систему с массами связанными между собой упругими элементами жесткости и демпферами с коэффициентами сопротивления В направлении оси X в режиме совместного движения действуют снлы сухого трения, а в режиме свободного движения силы сопротивления, пропорциональные абсолютной скорости перемещения (демпфер с коэффициентом сопротивления

Неибратимые деформации воспроизводятся клиновым элементом и парой сухого трения. В режиме свободного движения массы та по оси перемещаются, преодолевая вязкостные силы сопротивления, пропорциональные относительной скорости (демпфер с коэффициентом сопротивления и абсолютной скорости (демпфер с коэффициентом сопротивления

При движении модели вдоль оси в случае отсутствия проскальзывания в клиновом элементе уравнение движения следующее:

при наличии проскальзывания в клиновом теле

где — начальная упругая деформация слоя; коэффициент, учитывающий уплотнение слоя Сила

деформирует сыпучее тело, стремясь вызвать необратимые деформации (сдвинуть клин).

Рис. 27. Двухмассная инерциоиная модель слоя

Деформации модели будут оставаться упругими до того момента, пока деформирующая сила не превзойдет сопротивление сдвигу клина:

Модель находится в контакте с грузонесущим органом до тех пор, пока нормальная реакция не превратится в нуль:

На этапе свободного движения массы перемещаются совместно:

Движение массы в режимах совместного и свободного движения описывается одним уравнением

Сила деформирует сыпучее тело и воздействует на массу

Для массы та на этапе совместного движения характерны следующие режимы: 1) относительное равновесие

модель остается на грузонесущем органе в относительном покое, если сдвигающая массу сила не превосходит по абсолютной величине предельного значения силы статического трения (здесь коэффициент трения покоя груза о грузонесущий орган); сила сухого трения меняет свое направление в зависимости от характера движения груза]

2) уравнение скольжения сыпучего тела имеет вид

3) на этапе свободного движения уравнение для массы следующее:

Для нахождения моментов перехода от одного режима движения к другому используют трансцендентные уравнения, которые определяют выбор требуемого уравнения и начальных условий для его решения, так как решение и аналитически, и на электронных моделирующих устройствах производится методом припасовывания.

Момент перехода от участка поперечной упругой деформации модели к пластической и обратно определяется в результате решения трансцендентного уравнения, полученного приравниванием

Переход от скольжения модели к остановке происходит в момент и при условии, что силы статического трения в этот момент больше или равны силе, стремящейся перевести груз в режим проскальзывания:

Обратный переход от остановки к скольжению (момент происходит при условии, что силы статического трения не превышают модуля силы, стремящейся перевести модель в режим проскальзывания:

Момент перехода от совместного движения к свободному (момент отрыва груза определяется в результате решения следующего трансцендентного уравнения:

В момент происходит падение модели груза на грузонесущий орган и начинается фаза соударения. Этот момент определяется трансцендентным уравнением

Модели объемной вибрационной обработки. Обработка происходит в прямолинейных, торообразных или спиральных контейнерах с круглым, -образным, прямоугольным (прямоугольным с закругленными углами) поперечным сечением. Наполненный абразивом и деталями контейнер приводится в вибрационное движение. Успешное снятие слоя материала у детали (очистка поверхностей, удаление острых кромок, шлифование или полирование поверхности) происходит только тогда, когда имеет место достаточно интенсивное движение деталей относительно абразивной массы. Поэтому модели должны быть способны учитывать не только циркуляционную скорость (круговые движения) всей смеси абразива с деталями, но и изменение плотности всей массы. Важным показателем является и сила взаимодействия. На рис. 28 показана модель [9, 16], созданная для описания поведения смеси абразивных частиц и деталей в контейнере с круглым -образным) поперечным сечением Модель представляет собой упругий круг, у которого диаметр изменяется в зависимости от поджатая пружин соединяющих центральные массы абразива и деталей с периферийной суммарной массой Периферийная масса может двигаться вместе с контейнером, скользить или двигаться в режиме с подбрасыванием. Особенностью модели является допущение, что модель все время является круглой и радиус меняется в зависимости от того, как контейнер воздействует на модель. Массы позволяют описать циркуляционную скорость. Взаимные сдвиги

между массами имитируют силы сухого трения (силы резания) между абразивами и деталями. Энергия соударения между частицами моделируется вязкими элементами

Рис. 28. Модель движения абразива и деталей в установке для виброобъемной обработки

Модель позволяет учитывать и воздействие внешнего силового поля например магнитные силы. Съем металла считается пропорциональным рассеянной в модели энергии (в вязких элементах и в элементе сухого трения). Энергия, рассеянная при соударении массы о контейнер (коэффициент обычно не считается полезно затраченной для съема металла.

Рис. 29. Модель движения абразива и деталей при виброобработке в тороидальных контейнерах

Изменение плотности (взаимное давление) считается пропорциональным сжатию упругих элементов.

Рассмотренную на рис. 28 модель с незначительными добавлениями применяют и для виброобработки в тороидальных контейнерах. Кроме взаимного движения абразива и деталей и циркуляционного движения следует еще моделировать движение

вдоль тороидальной поверхности. Для учета дополнительных сопротивлений в этом направлении добавляются вязкие элементы (рис. 29). В данной модели энергия взаимодействия абразива и деталей моделируется только вязкими элементами. Для простоты пара трения и разделение массы в центре опущены.