2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Ввиду того что в дальнейшем необходимые результаты можно получить только с помощью математических методов, выбранный принцип действия технологического процесса должен иметь математическое описание. Под математическим описанием понимаем математические зависимости (алгебраические, дифференциальные или интегральные уравнения), которые связывают механические параметры движения рабочего органа вибромашины с основными показателями качества технологического процесса. В практике приходится встречаться с тремя ситуациями: 1) физика технологического процесса хорошо изучена и существуют достаточно простые

математические зависимости; 2) известны зависимости между некоторыми показателями качества технологического процесса и параметрами движения; 3) когда приступают к проектированию вибромашины, математическое описание технологического процесса еще отсутствует. Первая ситуация ясна, а вторая является промежуточной между первой и третьей. Поэтому более подробно рассмотрим третью ситуацию, а потом вторую.

При отсутствии теории единственным путем получения зависимостей является эксперимент. Получение необходимой зависимости показателя качества процесса от параметров движения рабочего органа состоит из нескольких этапов.

1. Планирование эксперимента. Назначаются области исследования и число экспериментальных точек, обычно не более где число варьируемых параметров движения. Наиболее простое размещение этих точек в вершинах n-мерного куба (на рис. 1, а показан случай Однако при том же числе экспериментальных точек (если действительно параметры независимы) можно получить значительно большую информацию, если точки разместить на различных уровнях (рис. 1, б). При размещении, показанном на рис. 1, а, каждое значение -повторяется в четырех экспериментах, а на рис. 1, б — только один раз. Это означает, что при экспериментальных точек вместо двух уровней значений каждого будет уровней.

Уровни значения для каждого при принимаемом числе точек можно подсчитать по программе [3] Выбор распределения уровней значений параметров не обязательно равномерный. Если есть подозрение, что искомая оптимальная комбинация параметров лежит в какой-то области, то распределение уровней можно произвести в соответствии с предполагаемой вероятностью. На рис. 2 показаны предполагаемые плотности вероятностей оптимальных значений параметров и соответствующий этим вероятностям план размещения экспериментальных точек. Если предполагается брать уравнений значений параметра то расстояние между двумя уровнями выбирается так, чтобы

При размещении экспериментальных точек можно пользоваться и хорошо отработанным ПЛ-поиском [55, 64]. Однако при заданном числе экспериментов более экономичным является вышеописанный способ размещения точек.

2. Проведение эксперимента в назначенных точках.

3. Определение зависимости в форме

Коэффициенты определяют, минимизируя среднеквадратическую ошибку между экспериментальными значениями и суммой (2) при выбранных функциях Если имеем экспериментальных точек, то однопараметрическую зависимость можно точно провести через все экспериментальные точки с помощью полинома стенени.

Однако очевидно, что при второй серии экспериментов со сдвинутыми экспериментальными точками, кривая (3) не будет проходить через новые экспериментальные точки. По этой причине для аппроксимации берут значительно меньше слагаемых, чем подбирая именно те функции которые в сумме дают наименьшую

(кликните для просмотра скана)

ошибку. Все сказанное справедливо и для многомерных случаев хотя здесь следует найти не только слагаемые, которые следует брать, но и какие именно параметры должны войти в каждое При выборе не следует ограничиваться только полиномами с положительными степенями. Увеличение класса функций резко улучшает качество аппроксимации (минимальность среднеквадратической ошибки при заданном числе слагаемых), но столь же резко возрастает трудоемкость отыскания этих функций. Поэтому эту работу лучше всего поручить ЭЦВМ. С помощью программы [64] находятся не только наилучшие комбинации при заданном числе аппроксимирующих функций, но и указывается, после скольких слагаемых дальнейшее улучшение уже не существенно.

В практике встречаются случаи, когда некоторые зависимости известны, а некоторые, также влияющие на технологический процесс, неизвестны. В этих случаях за основу берут ту модель, которая описывает известные зависимости. Эту модель усложняют, наделяя ее некоторыми дополнительными свойствами. Таким образом вводятся некоторые дополнительные постоянные. Значения этих постоянных определяются так, чтобы зависимости, используемые в дальнейшем, наилучшим образом совпадали с экспериментальными (см., например, определение коэффициентов модели, гл. III). Преимущество описанного подхода по сравнению с использованием чисто экспериментального определения необходимых зависимостей заключается в том, что аппроксимирующие эксперименты зависимости выбирают не формально, а с использованием имеющегося опыта. Это позволяет с большей вероятностью распространить полученные зависимости за область эксперимента и получить из модельного представления некоторые другие зависимости, которые экспериментально не проверены (или проверены недостаточно).