Средние скорость и ускорение частицы в установившихся режимах движения.

Определение указанных величин представляет наибольший интерес для приложений. Их вычисление не вызывает существенных затруднений, если найдены моменты перехода от одного этапа к другому в установившемся движении; после этого дело сводится к легко выполняемому интегрированию (1). В результате находится перемещение частицы за один период переключений для регулярных режимов и приращение скорости за тот же период для режимов ускоренных, а затем средние скорость и ускорение:

Для практических расчетов удобно пользоваться программой в Госфонде алгоритмов) В программе автоматически проверяются области применения гипотез взаимодействия частиц с лотком. Время счета на —15 с.

Режимы без подбрасывания. В наиболее общем случае, когда коэффициенты трения покоя и скольжения существенно различны, процесс вычисления средней скорости в регулярных режимах сводится к следующему: 1) по (12) и (13) вычисляют с помощью соотношений, помещенных во второй и трегьей графах табл. 1, при учете (14) и рис. 3 выясняют вид установившегося режима движения частицы; 3) по формулам пятой графы габл. 1 и с помощью рис. 3 находят фазовые углы, соответствующие моментам перехода от одного этапа движения к другому; 4) по формулам последней графы табл 1 и с помощью рис. 7 подсчитывают среднюю скорость V или среднее ускорение

В случае, когда допустимо считать, что определение средней скорости значительно облегчается. В этом случае можно воспользоваться номограммами [32], приведенными на рис. На этих номограммах сплошные линии соответствуют указанным на них постоянным значениям безразмерной средней скорости движения частицы

Изолинии безразмерной скорости нанесены в плоскости безразмерных параметров где а — параметр наклона плоскости-, каждая из номограмм соответствует определенному значению параметра наклона вибрации

Сплошная жирная кривая на номограммах является линией буксования частицы разделяющей области вибротранспортирования частицы в положительном и отрицательном направлениях Режимам без подбрасывания соответствуют части номограмм, для которых Примеры определения скорости с использованием приведенных графиков и номограмм см. ниже.

Рис. 7. (см. скан) Графики для определения безразмерного перемещения частицы за этап скольжения

В случае чисто продольных колебаний плоской поверхности подбрасывание чааицы отсутствует при любых значениях параметров. В этом случае и номограммами рис. 8 пользоваться нельзя. Однако в наиболее важном режиме 2 (типа ) средняя скорость движения частицы

где

Указанный режим имеет место при т. е. при достаточно интенсивных колебаниях поверхности.

В еще более частном, но имеющем важные приложения случае чисто продольных колебаний горизонтальной поверхности средняя скорость частицы V в установившихся режимах согласно (28) равна нулю. В этом случае возможны три вида установившихся состояний частицы [5, 27]: 1) относительный покой колебания вблизи некоторого среднего положения с остановками конечной продолжительности после скольжения вперед и назад (режим 1 типа ) колебания вблизи среднего положения с мгновенными остановками после каждого скольжения (режим 2 типа Области сущеавования этих

(кликните для просмотра скана)

режимов в общем случае, когда определяются соответственно неравенствами

где

Указанные области представлены на рис. 9. При неравенства (30) упрощаются, принимая вид: 1) При имеем соответственно: 1) ; 2)

Рис. 9. Области существования и устойчивости установившихся режимов движения частицы на горизонтальной поверхности, совершающей продольные прямолинейные гармонические колебания

Рис. 10. Зависимость параметра от

Смещение частицы в одном направлении (размах колебаний) в режиме 1 определяется по формуле где а функция F находится по рис. 7. Для режима 2 получается

Режимы с подбрасыванием. В кратных режимах с непрерывным подбрасыванием, имеющих место при выполнении условий (21) или (24), касательная составляющая относительной скорости имеет такое значение, при котором справедлива зависимость (9). Средняя скорость [5, 6]

В случае, когда параметр перегрузки удовлетворяет условию

т. е. в случае достаточно интенсивного подбрасывания, приближенное выражение для скорости в любых режимах [6, 16]

где

Формула (33) образована путем интерполяции формулы (31), строго справедливой при лежащих в интервалах (24), на все промежуточные значения причем интерполирующаяся кривая проходит через средние точки интервалов (24).

Для облегчения расчетов на рис. 10 представлена функция соответствующая (34), а на рис. 11, а-а даны зависимости безразмерной величины от параметра и угла вибраций (5 для случая горизонтальной поверхности при коэффициенте восстановления равном 0; 0,1 и 0,2.

При интенсивности подбрасывания, отвечающей значениям параметра перегрузки

с погрешностью не выше можно пренебречь вторым слагаемым в подкоренном выражении (34) по сравнению с первым и принять Тогда выражение (33) для средней скорости существенно упрощается:

При получаем

т. е. скорость транспортирования оказывается приближенно равной амплитуде продольной проекции скорости колебаний вибрирующей плоской поверхности.

Недостаток приведенных простых приближенных формул состоит в том, что они не отражают зависимость средней скорости от коэффициентов трения и Однако при наличии интенсивного подбрасывания эта зависимость является довольно слабой, и во многих случаях может не учитываться.

Выражение (36) близко к полуэмпирической формуле В А. Баумана [2] (см. стр. 87), если положить в последней и опустить близкие к единице эмпирические коэффициенты, а также к другим хорошо проверенным полуэмпирическим формулам, рекомендуемым зарубежными исследователями для случаев транспортирования сыпучих тел [48, 51].

В случае режимов со слабоинтенсивным подбрасыванием, когда параметр перегрузки близок к единице и справедлива -гипотеза (10), для определения скорости вибротранспортирования можно воспользоваться номограммами рис. 8; более полные номограммы, построенные в соответствии с -гипотезой, приведены в [32].

Примеры определения средней скорости. 1. Пусть частота колебаний плоской поверхности кол/мин, т. е. амплитуда см; угол наклона к горизонту угол вибрации коэффициенты трения покоя и скольжения соответственно В данном случае параметр перегрузки и поэтому частица движется без отрыва от поверхности.

По (12) и (13) находим Поскольку, согласно (14), то в соответствии с неравенствами второй и третьей граф табл. 1 заключаем, что при заданных параметрах реализуется регулярный режим Поэтому по формуле последней графы табл. 1 с помощью рис. 7 находим .

Если принять то см/с, что близко к ранее найденному см/с при Вместе с тем, если принять то тарнм же образом найдем см/с, т. е. получим значительно меньшую скорость, чем при

2. Предположим, что, как и ранее, но кол/мин см; коэффициент восстановления при ударе При этом т. е. осуществляется движение с подбрасыванием. Кроме того, и поэтому при вычислении V можно пользоваться (33) и (36), а также рис. 11.

(кликните для просмотра скана)

Рис. II. Графики для приближенного определения безразмерной скорости вибротраиспорти рования при интенсивном подбрасывании

По (34) и (33) находим

С помощью рис. для значений определяем и поскольку . По (36) получаем см/с

Качественный характер зависимости средней скорости движения частицы от параметров важен при решении многих прикладных вопросов. Из соображений подобия следует, что в самом общем случае указанная зависимость может быть представлена в форме

где некоторая безразмерная функция семи безразмерных параметров. Все приведенные выше формулы, очевидно, могут быть записаны в виде (37); рассмотрение этих формул, а также соответствующих графиков и номограмм позволяет прийти к определенным заключениям.

1. При неизменных амплитуде ускорения углах а и (5 и коэффициентах модуль средней скорости движения частицы V прямо пропорционален амплитуде скорости колебаний Лео или обратно пропорционален частоте колебаний Таким образом, заданный уровень ускорения колебаний поверхности целесообразно обеспечивать путем выбора наибольшего возможного значения амплитуды колебаний или наименьшей допустимой частоты колебаний.

Это заключение, сделанное для частной задали, является справедливым для всех процессов вибрационного перемещения, в которых средняя скорость движения может зависеть только от трех размерных параметров -

2. При неизменных амплитуде скорости колебаний и параметрах увеличение амплитуды ускорения приводит, как правило, к возрастанию модуля средней скорости движения частицы. Интенсивность этого возрастания зависит от выбора фиксированных параметров

Отсюда следует (с теми же оговорками), что при постоянной частоте колебаний и неизменных тех же параметрах модуль средней скорости возрастает с изменением амплитуды колебаний А быстрее, чем по линейному закону При постоянной амплитуде колебаний А и неизменных указанных параметрах модуль средней скорости возрастает с изменением частоты колебаний со быстрее, чем по линейному закону; при этом увеличение частоты при неизменной амплитуде А приводит к большему возрастанию скорости, нежели аналогичное увеличение амплитуды А при неизменной частоте

3. При постоянной частоте со и амплитуде А колебаний, а также при неизменных параметрах зависимость средней скорости от угла вибрации имеет, как правило, один ярко выраженный максимум. Это вытекает из непрерывности функции и того, что V обращается в нуль или становится отрицательной при продольных колебаниях поверхности и при поперечных колебаниях

4. С увеличением угла а при неизменных параметрах средняя скорость движения частицы V уменьшается; если при скорость была положительной, то при некотором значении угла она обращается в нуль (см. ниже).

Рис. 12. Зависимость предельного угла подъема частицы но вибрирующей плоской поверхности от угла вибрации при отсутствии подбрасывания

5. В пределах применимости (31), (33) средняя скорость убывает при неизменных параметрах с увеличением коэффициента восстановления . В тех же пределах с возрастанием коэффициента мгновенного трения X при неизменных параметрах средняя скорость увеличивается при положительных углах а и уменьшается при отрицательных.