Глава II. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПО ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ

1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ЛОТКОМ. ГИПОТЕЗЫ И РАСЧЕТ

Безотрывное движение. Взаимодействие при безотрывном движении характеризуется коэффициентом трения между телом и поверхностью лотка

где сила трения; нормальная реакция.

Приближенная формула не учитывает зависимость от относительной скорости Однако в задачах о вибротранспортировании диапазон изменений этих величин не очень большой. Если при расчете средней скорости транспортирования V использовать значение соответствующее средним значениям то расчет

удовлетворительно согласуется с экспериментом. Учитывать зависимости возможно, если расчет средней скорости V и других параметров движения вести с помощью ЭЦВМ. Числовое значение и его зависимость от можно найти в [10]. Дальнейшее уточнение физики взаимодействия треннем необходимо только при исследовании самоориентации (см. параграф 2).

Рис. 1. Зависимость коэффициента от касательной и нормальной составляющей относительной скорости при падении стального шарика на стальную поверхность

Описание нормальной составляющей ударного взаимодействия. Наиболее простой гипотезой является гипотеза Ньютона, утверждающая, что нормальные составляющие относительной скорости центров тяжести двух соударяющихся тел до соударения и после соударения) связаны соотношением

Эта гипотеза справедлива в достаточно узком диапазоне относительных скоростей у при центральном соударении тел. На рис. 1 показана зависимость коэффициента от касательной х и нормальной у составляющей относительной скорости при падении без вращения стального шарика диаметром на стальную поверхность, покрытую слоем резины толшиной [6].

Рис. 2. Схемы протекания процесса соударения тела с лотком при вибротранспортировании

При вибротранспортировании удар не является центральным. Во время удара действующий на тело импульс имеет как нормальную составляющую так и касательную составляющую (рис. 2, а). Вследствие того, что центр тяжести не совпадает с точкой приложения импульса тело получает и вращательное движение. Плоское тело после полета встречается с лотком в точке А. Если тело небольшой высоты то в момент начала контакта с лотком нормальная составляющая импульса вызывает момент относительно центра тяжести тела больший, чем момент сил инерции (рис. 2, б), и поэтому тело соприкасается с лотком в точке В (рис. 2, в). Последовательные микроудары приводят к тому, что тело в конце удара имеет положение, показанное на рис. 2, а. Это позволяет описать движение тела моделью «плоской частицы». Но в этом случае смысл коэффициента уже более

обобщенный, так как нормальные составляющие относительной скорости центра тяжести берутся в начале и в конце серии микроударов. Поэтому сильно зависит от касательной и нормальной составляющей скорости и конфшурации тела. Значение может быть определено только непосредственно из эксперимента по вибротранспортированию.

Физически более обоснованной является гипотеза, связывающая кинетические эиергии тел до и после удара [7, 8]. Но так как с этой гипотезой работать сложнее, то используют эквивалентное соотношение импульсов до соударения и после соударения

где эмпирический коэффициент.

При плоскопараллельном движении (рис. 3) соотношение (3) имеет вид

Определения (3) и (2) совпадают только для центрального удара или при отсутствии поворота тела [нулю равны угловые скорости в начале удара (рис. 3, а), в конце удара (рис. 3, в) и в момент наибольшего сближения (рис. 3, б). Тогда скорость центра тяжести совпадает со скоростью точки соприкосновения.

Рис. 3. Характерные положения тела при соударении с плоской поверхностью: а — в начале удара; в момент наибольшего сближения; в — в конце удара

Определение движения тела в нормальном направлении к поверхности лотка ведется следующим образом [7, 8]. Если относительная скорость достаточно большая и тело все время удара скользит (относительная касательная скорость точки соприкосновения то весь процесс делитсана два этапа.

Первый этап — сближение. Уравнения изменения количества движения

и момента количества движения

содержат четыре неизвестные величины — нормальную относительную скорость и угловую скорость в конце первого этапа и импульсы первого этапа Первый этап — сближение заканчивается, когда нормальная составляющая скорости точки соприкосновения (точка В на рис. 3, б) Так как где закон движения поверхности лотка в поперечном направлении, то при

Присоединив понятие коэффициента трения

с помощью (4) — (6), найдем

Второй этап — удаление тела. Систему необходимых уравнений даюг (4), (5), (7) и (3) с соответствующей заменой индексов:

т. е.

При выборе коэффициента трения следует учитывать, что действует не статическая сила тяжести тела, а динамическая [10].

Рис. 4. Зависимость изменения касательной составляющей относительной скорости от касательной и нормальной составляющих относительной скорости при соударении стального шарика диаметром со стальной поверхностью, покрытой слоем резины толщиной

В случаях, когда тело скользит полотку только часть времени удара, приходится в систему уравнения ввести соотношения между касательной составляющей относительной скорости тела до удара и после удара.

Описание касательной составляющей ударного взаимодействия. Простейшие гипотезы. Для модели плоской частицы соответствующую точность дают гипотезы:

при ударе без проскальзывания и с частичным проскальзыванием точки соприкосновения;

при ударе с полным проскальзыванием.

Переход от гипотезы (8) (при малых к области действия гипотезы (9) определяет точка пересечения прямых (8) и (9), т. е. гипотеза (8) справедлива, если

Выражения (8) и (9) являются следствием лишь одного допущения о том, что в контакте при ударе действует только сухое трение [7, 8]. Наличие проскальзывания или его отсутствие, так же как при определении силы сцепления при сухом трении, определяет природу этих двух выражений. Выражение (8) справедливо тогда, когда за время удара взаимное проскальзывание прекращается и при отрыве детали от лотка скорости в точке контакта тела и лотка одинаковы. Если этого нет, то справедливо (9). Данные теоретические исследования подкреплены непосредственными экспериментальными исследованиями [5], полностью подтверждающими справедливость этих выражений.

Рис. 5. Зависимость изменения касательной составляющей относительной скорости от касательной и нормальной у. составляющих относительной скорости при соударении детали (показана на рисунке) со стальной поверхностью

На рис. 4 и 5 показаны результаты экспериментальных исследований.

В процессе вибротранспортирования применять соотношение (9) приходится редко, так как условие

может выполняться при отдельных соударениях в нерегулярных режимах. В режимах с непрерывным подбрасыванием справедливо соотношение (8) [4],

Коэффициенты следует определить из эксперимента по вибротранспортированию, используя формулу средней скорости. В случае одного соударения тела за периодов колебания лотка (кратные соударения) справедлива гипотеза (8), и тогда средняя скорость транспортирования (см. (55) гл. I) [6]

Экспериментально определенные скорости транспортирования при горизонтальном лотке с при некотором угле а позволяют определить X:

Если эксперимент проводится на лотке, совершающем прямолинейные колебания под углом то

Обычно

Естественно, что к можно определить, используя эксперименты и при двух разных а. Тогда только несколько усложняется расчет. Лучшим следует считать вариант, когда разница между обоими углами а достаточно большая, причем эти значения охватывают область, в которой будет использоваться зависимость (8).

Существует формально и вторая возможность для определения k. Предполагая, что из формулы скорости [(55) гл. I] получим предельный угол подъема Следовательно, только один эксперимент по определениюапр позволяет определить . Однако таким образом определенное значение к будет весьма далекое от к при значительно меньших а. Это объясняется тем, что, приближаясь к значению из-за стахостического характера удара в части соударений, уже появятся значения х при которых гипотеза (8) должна быть заменена гипотезой (9). Экспериментально определенный к является усредненной величиной. Как видно из экспериментальных исследований (см. рис. 4 и 5), в области, в которой происходит переход от одной гипотезы к другой, наблюдается весьма существенное отклонение от прямой, которой соответствует зависимость (8).

Гипотеза (8) при экспериментальном подборе коэффициента к позволяет определить среднюю скорость транспортирования и в тех случаях, когда тело имеет и вращательное движение, однако это движение остается неопределенным.

Для определения вращательного движения приходится пользоваться полной системой уравнений, добавляя к ней уравнение изменения количества движения

что позволяет обойтись без гипотез (8) и (9). Имеем несколько типичных случаев.

1. Тело во всем процессе соударения скользит по лотку; Поперечное движение полностью определяет величины Тогда из (7) находим после чего из (10) следует

Этот случай при вибротранспортировании встречается при значительных относительных скоростях, что может иметь место только в отдельных соударениях в режимах с некратными соударениями.

Более часто приходится встречаться со случаем, когда тело перестает скользить либо на этапе сближения, либо на этапе удаления.

2. Скольжение прекращается на этапе сближения.. Тогда этот этап делится на две фазы. Конец первой фазы определяется условием Решается система

относительно

Конец второй фазы определяется условием (6). Решается система

На втором этапе решаем систему (12), заменяя индексы на (0) и (0) на вместо уравнения используем соотношение (3):

3. Скольжение прекращается на этапе удаления тела. Первый этап решается, как при полном проскальзывании. В первой фазе этапа удаления, которая кончается

при используем систему уравнений (11) с заменой индексов на . Рассчитываем величины к, Во второй фазе используем систему (12), заменяя индексы на вместо последнего соотношения применяем гипотезу (3):

4. Можно также проанализировать случай, когда во время соударения отсутствует проскальзывание. Так как в практике применения вибрационных машин это встречается крайне редко, то приведем только одно отношение

показывающее, что соотношение импульсов в данном случае зависит от геометрии тела. Другие возможные режимы соударения (скольжение вперед и назад; скольжение вперед — совместное движение — скольжение назад) для вибротранспорта не характерны.

Из рассмотрения систем уравнений вытекают также условия существования каждого вида движения.

Полное проскальзывание будет, если при любом если Скольжение прекратится на этапе сближения, если или при любом если где

В этих исследованиях движения достаточно знать динамический коэффициент трения и величину которая может быть определена также из эксперимента при центральном ударе. Проведение расчетов с помощью исследования фаз удара оправданно в задачах об ударном ориентировании деталей. При этом расчет средней скорости транспортирования деталей можно провести только с использованием ЭЦВМ. В случае пространственного движения следует добавить еще два уравнения изменения момента количества движения и одно уравнение изменения количества движения. Принцип решения тот же.

Расчеты движения твердого тела (с использованием постоянных ей подтверждают справедливость гипотез (8) и (9) в соответствующих условиях, т. е. если коэффициенты и к определены из непосредственного эксперимента по вибротранспортированию [7].

Движение деформируемых тел. Во всех рассмотренных моделях время удара бесконечно мало, и его в расчетах принимают равным нулю. Однако с уменьшением жесткости тела время удара занимает все большую часть периода движения тела по лотку, и при расчетах с использованием гипотезы о мгновенности удара появляются слишком большие отклонения по сравнению с экспериментом. Попытка ввести время удара как дополнительную постоянную, как правило, не позволяет ответить на интересующие вопросы.

Простейшим описанием деформируемых тел является одномассная модель с элементами упругости, вязкости и сухого трения, через которые тело соприкасается с лотком. На этапах безотрывного движения приходится решать также уравнение поперечного движения для определения нормальной реакции. В режимах с подбрасыванием условием отрыва является условие исчезновения нормальной реакции Условием начала взаимного контакта является условие соприкосновения элемента упругости (вязкости, трения) с лотком. Увеличение числа масс в модели транспортируемого тела принципа расчета не изменяет, но расчет резко усложняется. Этими же моделями описывается движение сыпучих сред гл. III).

Если тела очень гибкие, приходится иметь дело с телом, движение которого не удается описать небольшим числом степеней свободы, то для определения движения следует рекомендовать прямые вариационные методы, Представляется

примерная форма деформированного тела. В этом описании оставляют несколько неизвестных постоянных, которые потом находят с помощью метода Бубнова-Галеркина, метода Ритца или других (см. т. 2, гл. II).