6. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ОТНОСИТЕЛЬНО СРЕДЫ

Рассмотрим простейшую модель — движение шарообразной частицы массой в вибрирующей по закону жидкости. Если частица полностью увлекается средой, то на нее действует сила где масса среды в объеме, равном объему частицы. При отличии движения частицы от движения среды некоторая часть среды (присоединенная масса движется вместе с частицей. Поэтому уравнение движения частицы будет

Интегрируя при условиях в зависимости от заданного закона движения жидкости получаем

Присоединенная масса для шара радиусом [23]

где плотность среды.

Тогда

где плотность частицы.

Из (20) следует, что относительное движение зависит от соотношений плотностей и не зависит от размеров частиц.

В выражениях (18) — (20) не учитывается сопротивление движению и силы земного притяжения. Если их учесть, то (18) будет иметь вид

В случае чисто вязкого сопротивления происходит погружение тела и всплывание При колебании среды вокруг этого усредненного движения происходит колебание тела, которое качественно описывается зависимостью (20).

Принципиально другие зависимости могут появиться, если сила сопротивления имеет характер сухого трения:

Обычно сопротивление всплыванию меньше, чем при движении в направлении дна сосуда, т. е. При наличии сил сухого трения частица будет двигаться совместно со средой тех пор, пока

Неравенство (23) вытекает из (4) и (5) при подстановке Это означает, что смесь, состоящая из частиц с массами и средой будет вести себя как сплошная масса, если выполняется неравенство (23), и будет наблюдаться взаимное перемещение (эффект псевдоожижения), если хотя бы в некоторые моменты времени неравенство будет нарушено. Эффект псевдоожижения будет тем сильнее, чем большую часть периода будет нарушено неравенство (23).

Частицы более легкие, чем среда при наличии псевдоожижения при симметричных колебаниях непременно всплывают. Более сложная картина будет в том случае, если частицы тяжелее среды Если наибольшее амплитудное значение ускорений а симметричных колебаний достаточно большое, чтобы нарушить Неравенство (23), то возможно не только погружение, но и всплывание более тяжелых частиц.

Запишем (22), введя относительное движение частицы и обозначив всю массу, участвующую в относительном движении, -Тогда (22) можно придать вид

При относительном движении частицы вверх на нее будет действовать наибольшая сила [правая часть (24)] при движении вниз

Очевидно всплывание может иметь место, если т. е. если

Но движение вверх может начинаться только тогда, когда

Из (25) и (26) следует, что всплывание может иметь место только при

Всплывание более тяжелой частицы, чем окружающая среда, является следствием неодинаковости сил сопротивления всплыванию и погружения, причем эта разница должна быть достаточно большой. Этот результат позволяет объяснить и тот факт, что при действии вибрации на смесь частиц одинаковой плотности, но различной крупности, крупные частицы при определенных условиях располагаются над мелкими, так как масса крупных частиц в том же объеме больше

Существенное влияние оказывает и уровень вибрации а. Так, при разных а та же самая тяжелая частица может как всплывать, так и погружаться.

Разное поведение частицы может быть еще заметнее, если применить асимметричные колебания. Возможно, например, погружение частиц более легких, чем среда.