5. ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ИЛИ СЛАБОНАКЛОННАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, СОВЕРШАЮЩАЯ ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПО КРУГОВЫМ ТРАЕКТОРИЯМ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ЭТОЙ ЖЕ ПОВЕРХНОСТИ, ИЛИ БЛИЗКИЕ К НИМ

Ниже приведены результаты решения ряда задач о движении частицы по вибрирующей шероховатой плоской поверхности в условиях, близких к условиям классической задачи Н. Е. Жуковского о движении частицы по горизонтальной плоской поверхности, совершающей круговые поступательные колебания. Далее изложен общий подход к рассмотрению класса более сложных задач, характеризующихся наличием разного рода возмущений (наклон поверхности, добавочные силы, дополнительные колебания); этот подход основан на преобразовании системы к «полярным переменным» и использовании метода малого параметра. Затем приведены результаты решения некоторых задач данного класса, интересных в прикладном отношении.

Случай круговых колебаний горизонтальной плоской поверхности (задача Н. Е. Жуковского). Дифференциальные уравнения относительного движения частицы по шероховатой плоской поверхности, совершающей поступательные колебания частоты (о по круговым траекториям некоторого радиуса имеют вид (рис. 23, а)

где коэффициент трения скольжения; ускорение свободного падения.

Частица может находиться на поверхности в состоянии относительного покоя лишь при условии т. е. что сила инерции в относительном движении не превышает максимального значения силы трения покоя — коэффициент трения покоя).

При уравнения (62) допускают решение

соответствующее движению частицы относительно поверхности по круговой граектории радиуса всегда меньшего радиуса колебаний причем движение частицы отстает по фазе от колебаний поверхности на угол

Рис. 23. (см. скан) Схемы движения частицы в условиях задачи Н. Е. Жуковского и при наличии возмущений; 1 — траектории колебаний точек плоской поверхности; 2 — траектории частицы

При установившимся состоянием частицы на поверхности является относительный покой; при это состояние также возможно, но оно является неустойчивым: даже сколь угодно малые возмущения могут привести к его нарушению и переходу в движение (63), которое в данном случае асимптотически устойчиво в малом; при относительный покой невозможен и движение (63) устойчиво в делом.

Решение (63) было найдено Н. Е. Жуковским [21] путем простых геометрических построений; аналитическое исследование, включающее изучение устойчивости, выполнено Цзя Щу-Хуаем [6].

О решении задачи в общем случае [5, 20, 32]. Для ряда приложений представляет интерес решение возмущенной задачи Н. Е. Жуковского, когда движение частицы

описывается уравнениями

отличающимися от (62) присутствием слагаемых где малый параметр, а функции являются -периодическими по времени

Для решения (64) часто целесообразно ввести «безразмерное время» и перейти от неизвестных х и у к «полярным переменным»

В результате (64) примет вид

где

штрихом обозначено дифференцирование по

Представляющие основной интерес -периодические по решения (66) могут быть эффективно найдены посредством метода малого параметра (см. параграф 3 гл. в виде рядов

с -периодическими коэффициентами.

Порождающая система допускает при стационарное решение соответствующее решению (63) задачи Н. Е. Жуковского; это решение можно считать -периодическим по Система в вариациях

является системой с постоянными коэффициентами; ее характеристическое уравнение имеет корни с отрицательными вещественными частями, ибо Поэтому здесь реализуется простейший случай, когда -периодические решения у системы (69) отсутствуют. При аналитических по и функциях периодические решения уравнений (66), по крайней мере при достаточно малых будут аналитическими по и асимптотически устойчивыми. При этом фактическое нахождение коэффициентов рядов (68) не встречает принципиальных трудностей, ибо, несмотря на нелинейность порождающей системы, оно связано с решением линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами, однородные части которых совпадают с (69). Так, для нахождения функций будем иметь систему уравнений

правые части которых зависят лишь от порождающего решения

После нахождения величин с необходимой точностью можно найти с той же точностью проекции скорости частицы по (65), а затем средние скорости

Случай наклонной плоской поверхности и дополнительной постоянной продольной силы. Пусть в отличие от задачи Н. Е. Жуковского вибрирующая плоская поверхность наклонена к горизонту на некоторый относительно малый угол (отсчитываем этот угол в направлении, противоположном отсчету ранее введенного угла а; рис. 23, б, а также рис. 16). Уравнения движения, соответствующие этому случаю, получатся из (64), если положить в них а в левых частях величину заменить на за малый параметр можно принять, например, величину Решение уравнений изложенным выше способом приводит к выводу, что траекторией относительного движения частицы по поверхности является спиралевидная кривая. Отклонение скорости среднего движения частицы происходит в ту сторону, в которую направлены абсолютные скорости точек поверхности в моменты ее наинизшего положения (в рассматриваемом случае — в сторону положительного направления оси С точностью до величин порядка проекции средней скорости движения частицы по поверхности

За период колебаний поверхности частица описывает «разомкнутую окружность», радиус которой т.е. вычисляется аналогично радиусу круговой траектории в задаче Н. Е. Жуковского. С указанной степенью точности скорость бокового сноса частицы не зависит ни от радиуса (амплитуды) траектории колебаний поверхности, ни от коэффициента трения.

С увеличением интенсивности вибрации, т. е. с уменьшением параметра величина «угла сноса» (рис. 23, б)

монотонно убывает до нуля. При (т. е. при скоростью бокового сноса можно пренебречь, положив при этом скорость V можно приближенно определить из уравнения

где и — полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода от модуля

Уравнение (73) справедливо и при значительном наклоне поверхности, т. е. когда параметр имеет порядок единицы.

При низкой интенсивности вибраций т.е. приведенные выше формулы утрачивают смысл; в этом случае имеет место движение частицы с шперралами относительного покоя в каждом периоде.

Изложенные результаты полностью относятся также к случаю, когда вибрирующая поверхность горизонтальна, но на частицу действует дополнительная сила направленная вдоль оси (рис. 23, в) В указанном случае следует лишь заменить во всех приведенных формулах величину на и положить при этом заменяется на

Случай горизонтальной плоской поверхности, совершающей поступательные колебания в горизонтальной плоскости, близкие к круговым. Если горизонтальная поверхность помимо круговых совершает дополнительные малые поступательные колебания в горизонтальной плоскости (рис. 23, г), то в (64) можно положить где периодические функции с периодом В частности, если траектории результирующих колебаний — аллипсы с относительно малым эксцентриситетом, то можно принять полуоси эллипса, причем большая ось параллельна оси

Тогда согласно (67) будем иметь легко определив периодическое решение (70), найдем величины с точностью до членов порядка включительно

Теперь соблюдая ту же точность, можно найти скорости х и у, а затем и координаты х и у частицы в устойчивом установившемся движении Траектория частицы в указанном движении имеет вид деформированного эллипса (овала); средняя скорость движения равна нулю.

2. Значения функций и

(см. скан)

В случае достаточно интенсивных колебаний, когда т. е. можно пользоваться приближенным решением

где , причем функции определяются по табл. 2.

Рис. 24. Годографы скорости частицы при установлении устойчивого движения частицы по плоской поверхности:

На рис. 24 изображены годографы скорости частицы, полученные в результате решения задачи на электронной моделирующей установке, причем виден процесс установления устойчивого движения, которому соответствуют замкнутые кривые. Отклонение этих кривых от эллипсов увеличивается с уменьшением параметра Решение (75) получено Хуаем путем использования метода Бубнова — Галеркина; им же получены кривые на рис. 24 (см [6], где приведен более детальный анализ задачи.)

Случай горизонтальной плоской поверхности, совершающей, кроме круговых, дополнительные малые колебания. Когда дополнительные поперечные колебания являются поступательными (рис. 24, б), в (64) следует положить где периодическая функция с периодом характеризующая закон малых поперечных колебаний поверхности. Предполагаем, что так что подбрасывание частицы отсутствует. В частности, в случае гармонических поперечных колебаний где соответственно амплитуда и фаза колебаний; При этом согласно (65) и и после решения (70) находим

с точностью до членов, содержащих

Подставив эти выражения в (65) и выполнив операцию осреднения, найдем (с той же точностью) следующие выражения для проекций средней скорости движения частицы по поверхности

Зависимости безразмерных скоростей параметра при различных значениях угла сдвига фаз представлены на рис. 25; при этом учтено, что согласно

Рис. 25. Безразмерная скорость вибротранспортирования по горизонтальной плоской поверхности в условиях задачи Н. Е. Жуковского при наличии дополнительных колебаний:

Таким образом, добавочная поперечная компонента вибрации поверхности приводит к возникновению вибрационного перемещения частицы по говерхности. Движение частицы, как и в условиях рис. 23, б и в, происходит по спиралевидной кривой (рис. 23, 3). При этом, изменяя фазу поперечных колебаний можно регулировать направление средней скорости движения частицы

Случай задачи, соответствующий с учетом дополнительных сопротивлений движению частицы, рассмотрен иным методом в работе [30]. Там же изучены закономерности движения частицы по диску, который, кроме круговых

поступательных колебаний в своей плоскости, совершает прецессию вокруг вертикальной оси Регулируя параметры вибрации, можно обеспечить картину среднего («медленного») движения частицы, соответствующую устойчивому или неустойчивому фокусу в центре диска, а также устойчивому или неустойчивому предельному циклу в виде окружности заданного радиуса (о понятиях фокуса и предельного цикла см. т. 2).