7. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Рассмотрим многофазные системы, представляющие собой взвеси твердых и газовых включений в жидких средах. Ограничимся трехфазной средой жидкость — твердые частицы — пузыри, хотя аналогичный подход может быть использован для описания более сложных сред с пузырями и частицами различных типов. Для математического описания движения будем использовать концепции газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред, которые заключаются в следующем -Размеры включений предполагаются настолько меньшими минимального расстояния между ними, что можно пренебречь непосредственными взаимодействиями между включениями. Минимальное расстояние между включениями принимаем зна-чительио меньше расстояния, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики течения, что позволяет наряду с несущей средой рассматривать непрерывные «среды» носимых частиц и пузырьков. Эти среды, как и несущая жидкость, считаются идеальными (вязкость учитывается лишь при описании процессов межфазного взаимодействия) и сжимаемыми, причем давление принимается для них общим и зависящим лишь от истинной плотности несущей среды и скорости звука с, в ней (условие баротропности). В каждой точке пространства наряду с истинными плотностями каждой из фаз ) задают средние плотности которые определяют как суммарную массу каждой из фаз в единице объема среды. Кроме того, задают также векторы скоростей каждой

из фаз, которые определяют как отношение количества движения каждой из фаз в единице объема среды к средней плотности соответствующей фазы. Здесь и дальше величины с индексом 1 относятся к фазе пузырьков, с индексом 2 — к фазе несущей среды, с индексом 3 — к фазе твердых частиц. Относительно пузырьков предположим, что масса каждого из них в процессе движения не изменяется, а форма сохраняется сферической с радиусом Для газа внутри пузырьков условия баротропности и однородности также предполагаются выполненными. Относительно частиц будем считать, что каждая из них сферической формы, однородна и несжимаема. С учетом этого уравнения движения рассматриваемой трехфазной среды могут быть записаны в виде

где функции межфазного взаимодействия; у — динамическая вязкость несущей среды; давление внутри пузырьков; а — коэффициент поверхностного натяжения на границе несущей жидкости и пузырьков газа; — внешние массовые силы, приложенные к единице массы фазы.

Для установления конкретного вида функций описывающих силовое взаимодействие между несущей средой и «средами» мелкодисперсных носимых фаз, следует привлечь дополнительные предположения. Во многих случаях они могут быть представлены в виде суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой лобовое сопротивление трения, описываемое формулой Стокса, а второе обусловлено эффек присоединенных масс [4].

Для решения конкретных задач система уравнений (28) должна быть дополнена определенными граничными и начальными условиями, учитывающими внешние вибрационные воздействия. В некоторых случаях в виде периодических функций времени задаются возмущения скоростей и давлений на границе области, занятой средой, в других — внешние массовые силы

Во многих технологических процессах в качестве рабочего тела используют двухфазные среды такие, как жидкость — газ, жидкость — твердые частицы и т. п. Для математического описания таких систем могут быть использованы упрощенные модели, которые являются частными случаями модели (28). Например, при решении задач дегазации или аэрирования жидкостей достаточно рассмотреть двухфазную среду жидкость — газ, динамическое поведение которой описывается системой (28), если индексы принимают значения 1 и 2. При изучении закономерностей процессов очистки жидких сред от твердых примесей либо их диспергирования в жидкости, целесообразно рассматривать двухфазную среду жидкость — твердые частицы, сохранить в уравнениях (28) для индексов значения 2 и 3, отбросив все уравнения, в которых фигурируют величины

Существенным представляется то обстоятельство, что для выявления форм относительного движения фаз не обязательно находить точное решение системы (28), удовлетворяющее всем граничным и начальным условиям. В некоторых случаях весьма плодотворным оказался подход, предложенный в работах согласно которому рассматривается задача теории нелинейных колебаний и устойчивости движения многофазной среды, а именно, для установления возможных форм относительного движения фаз находятся частные периодические или почти периодические решения системы (28) с соответствующими граничными условиями и исследуется их

устойчивость. Особый интерес представляют решения следующих трех типов (или близкие к ним):

1) скорость несущей среды и мелкодисперсных фаз, радиусы пузырьков, а также давление явно зависят от времени, являясь периодическими (либо почти периодическими) функциями его с частотами, равными или кратными частотам внешних воздействий, либо близкими к ним;

2) скорость несущей среды, радиусы пузырьков и давление явно зависят от времени, являясь периодическими функциями его, а скорости частиц и пузырей от времени не зависят, являясь функциями пространственных координат (в частности, константами); эти функции могут быть отличны от нуля во всей области течения либо обращаться в нуль в некоторых точках, что соответствует постоянству некоторых обобщенных координат, определяющих пространственное положение частиц и пузырьков;

3) скорости несущей среды, пузырьков и частиц — функции пространственных координат, не зависящие явно от времени и отличные от нуля во всей области течения, а давление и радиусы пузырьков — периодические функции времени, отличные от константы. Во всех трех случаях средняя часть давления может представлять собой функцию пространственных координат, зависящую от характеристик внешних вибрационных воздействий и нелинейностей.

Перечисленные типы частных решений определяют характер относительного движения несущей среды и мелкодисперсных фаз. Решениям первого типа соответствует режим перемешивания или динамической стабилизации смеси, решениям второго типа — режимы сепарации и транспортирования дисперсных фаз (если их скорости отличны от нуля во всей области течения) либо локализации элементов дисперсных фаз в окрестностях тех точек течения, где скорости частиц или пузырьков обращаются в нуль; решениям третьего вида — режимы транспортирования несущей жидкости, частиц и пузырьков, а также разделение компонентов смеси.

Условия реального осуществления такого рода режимов определяются исследованием устойчивости соответствующих решений. Такая постановка задачи позволяет установить нелинейные механизмы вибрационного движения и вибрационной устойчивости.

В качестве методов выявления указанных выше типов решений системы (28) и исследования их устойчивости во многих случаях могут быть использованы классические асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Например, в случае малой объемной концентрации мелкодисперсных фаз движение несущей среды может быть найдено независимо от движения частиц и пузырьков. Динамическое поведение последних удобно исследовать в переменных Лагранжа, после введения которых уравнения движения представляются в виде [4, 5]

где лагранжевы координаты частиц и пузырьков соответственно; возмущение радиуса пузырька; амплитуда вибрационных воздействий; нелинейные функции, явный вид которых определяется в зависимости от конкретной формы движения несущей среды.

Уравнение (29) можно трактовать как уравнение движения изолированной твердой частицы в заданном поле течения несущей среды, а систему (30) как уравнения движения и пульсаций изолированного пузырька. Предполагая малость амплитуды вибрационных воздействий, в (20) и (30) можно ввести малый параметр. После приведения к стандартной форме, выявление частных решений, соответствующих установившимся стационарным процессам, и исследование их устойчивости может быть проведено с помощью метода усреднения. Если такие решения или близкие к ним существуют и являются устойчивыми, то физически это означает, что реализуются режимы вибрационного перемещения частиц и пузырьков либо их локализации в окрестности устойчивых равновесных положений,

Изложенная методика позволяет наряду с известными выявить и механизмы виброперемещения мелкодисперсных фаз и их локализации, связанные с нелинейностями, обусловленными неоднородностью течения несущей среды. Эти механизмы до последнего времени оставались неустановленными.