3. ВЫБОР ВАРИАНТА УСТАНОВКИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯ НА ОДНОМ ИЗ ИНЕРЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНЫ

Некоторые вибрационные машины содержат один или несколько инерционных элементов кроме исполнительного органа. Когда первоначальная структура машины не предусматривает таких элементов, часто оказывается полезным проверить целесообразность введения дополнительных инерционных элементов. При их наличии необходимо выяснить, на каком из инерционных элементов машины выгодней установить вибровозбудитель. Существенный критерий для решения такой задачи — минимизация амплитуды вынуждающей силы, обеспечивающей заданную амплитуду перемещения исполнительного органа

В более общей постановке задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть непараметрическая система с степенями свободы, описываемая, вообще говоря, связанными обобщенными координатами совершает вынужденную вибрацию под действием периодического возбуждения, которое описывается обобщенной силой, соответствующей одной из обобщенных координат. Пусть далее необходимо максимизировать интенсивность колебаний координаты путем нахождения той из обобщенных координат, соответствие которой обобщенной силе обеспечивает названную максимизацию. Интенсивность колебаний может быть выражена, например, среднеквадратическим значением координаты, отсчитываемой от ее среднего значения, а в случае линейной системы и синусоидальной обобщенной силы — амплитудным значением указанной координаты.

Пусть система, включая обобщенную силу, имеет определяющих ее параметров Составив и проинтегрировав точно или приближенно дифференциальные уравнения движения, можно написать законы установившихся вынужденных колебаний координаты:

где время; интересующая нас координата в случае соответствия обобщенной силы координате системы.

В нелинейных системах, допускающих качественно различные периодические колебания, необходимо знать начальное состояние системы, чтобы выяснить, какой тип движения установится. Далее будем считать, что во всех сравниваемых вариантах устанавливаются качественно одинаковые периодические колебания.

Разделение пространства параметров на области, в каждой из которых наиболее выгодным в указанном выше смысле является соответствие обобщенной силы одной определенной координате, называют -разбиением пространства параметров. Возможны более сложные случаи -разбиения, когда система колеблется под действием двух, трех и т. д. обобщенных сил, соответствующих двум, трем и т. д. координатам.

Если известны решения (27), можно вычислить среднеквадратические значения

где период вынужденных колебаний.

Для линейной системы с синусоидальным возбуждением можно записать амплитуды

Рассматривая параметры как декартовы координаты -мерного эвклидова пространства и приравнивая попарно среднеквадратические значения (28),

получаем уравнений -мерных граничных гиперповерхностей (границ):

Аналогично можно поступить с амплитудами (29):

Границы (31) или (33) осуществляют F-разбиение пространства параметров системы. Не обязательно все границ существуют в заданных или имеющих смысл интервалах значений параметров.

Рис. 5. Выбор варианта установки вибровозбудителя: а — расчетная схема, -рачбиение плоскости параметров

Возможны различные структуры F-разбиения пространства параметров системы:

а) слоистая, при которой границы не пересекаются, а образуют ряд слоев, которые могут быть как незамкнутыми, так и квазиконцентрическими,

б) гнездовая, при которой границы не пересекаются, а образуют ряд отдельных замкнутых областей (гнезд),

в) узловая, при которой границы пересекаются или соприкасаются в узлах, представляющих собой гиперповерхности, размерность которых не выше ;

г) смешанная, содержащая элементы двух или трех перечисленных структур

Наиболее наглядно F-разбиение в простейших случаях, когда система имеет только два определяющих параметра. Тогда пространство параметров превращается в плоскость, граница становится линией, а узел — точкой. Поэтому в качестве примера рассмотрим систему, состоящую из исполнительного органа 1 (рис. 5, а),

дополнительного инерционного элемента 2 и соединяющей их пружины 3. Тела 1 и 2 могут двигаться только поступательно в горизонтальном направлении. Необходимо установить, при каких значениях параметров выгодно приложить вынуждающую силу (7) к телу и при каких к телу 2.

На поведение системы влияют следующие пять параметров, массы исполнительного органа и инерционного элемента коэффициент жесткости с пружины, амплитуда и угловая частота вынуждающей силы. Переход к безразмерным величинам позволяет сократить число параметров до двух. Поэтому введем безразмерные параметры

и безразмерное перемещение исполнительного органа

где перемещение исполнительного органа, отсчитываемое от среднего положения.

Амплитуда колебаний координаты в случае приложения вынуждающей силы к телу 1

и в случае приложения вынуждающей силы к телу 2

Приравнивая обе амплитуды, в соответствии с выражением (33) получаем уравнение границы

на плоскости параметров системы. Эта граница, осуществляющая -разбиение плоскости параметров, показана на рис. 5, б сплошной линией. В области над нею, покрытой горизонтальной штриховкой, а в области под нею, покрытой вертикальной штриховкой,

В данном примере область определения параметров занимает весь первый квадрант плоскости. Обычно практический интерес представляет какая-то часть области определения параметров, коюрая может быть определена ограничениями, налагаемыми на параметры, или дополнительными условиями. Так, если поставлено дополнительное условие то верхняя область будет ограничена слева кривой и справа кривой а нижняя область будет ограничена слева кривой и справа кривой Эти дополнительные границы нанесены на рисунке штриховыми линиями.

При большем числе определяющих параметров F-разбиение их пространства менее обозримо. Для максимальной наглядности можно производить характерные сечения пространства параметров двумерными плоскостями