Установившиеся режимы с подбрасыванием.

При выполнении условия

противоположного (5), в момент времени который определяется равенством

первоначально находившаяся на поверхности частица отрывается от нее; в этот момент времени согласно (4) нормальная реакция обращается в нуль, Поэтому при выполнении (17) будет иметь место движение частицы с отрывом от поверхности (с подбрасыванием).

В отличие от движения без подбрасывания в этом случае может существовать бесконечное множество различных установившихся режимов движения. Кроме формулы, установившиеся режимы с подбрасыванием можно характеризовать двумя числами — кратностью периода переключений и числом этапов полета в каждом периоде переключений совпадающим с числом соударений частицы с поверхностью. В соответствии с этим будем говорить о -кратных -ударных установившихся режимах или о режимах типа

Соотношения (1) — (8), определяющие поведение частицы, таковы, что ее поперечное движение может быть найдено независимо от продольного, Поэтому тип режима может быть найден при рассмотрении движения частицы по поперечной координате у.

Установившиеся режимы в случае абсолютно неупругого удара В этом случае частица покидает вибрирующую поверхность, имея нулевую поперечную составляющую начальной скорости Фазовый угол последующего падения частицы на поверхность определяется из уравнения

где, согласно (17), соесть фазовый угол, соответствующий моменту отрыва в этот момент выражение (4) непременно должно быть отрицательно. Уравнение (18) получается в результате интегрирования второго уравнения (1) при и соответствующих начальных условиях; графики его решений представлены на рис. 5. Уравнение (18) является основой для анализа возможных режимов движения частицы при Анализ приводит к следующим результатам [4—6, 28, 32, 44] (см ось на рис. 6, где в виде дробей указаны типы режимов, а также их упрощенные формулы):

а) в интервалах

где есть неотрицательный корень уравнения реализуются одноударные -кратные режимы с одним этапом пребывания частицы на поверхности в каждом периоде переключений, т. е. режимы типа формула таких режимов 60 гл гл или в упрощенном виде первые три корня указанного уравнения есть так что при условие (19) запишется соответственно в виде ; для больших значений можно считать а соотношение (19) записать

(кликните для просмотра скана)

в виде

б) в интервалах

имеем а при получаем существуют и устойчивы одноударные -кратные режимы с мгновенным контактом частицы с поверхностью, такие режимы типа с формулой (или в упрощенном виде называют режимами с непрерывным подбрасыванием; фазовый угол определяющий момент контакта, для таких режимов дается формулой С ростом кратности режима т. е. по мере увеличения параметра перегрузки протяженности интервалов (21) убывают до нуля;

в) быстро убывают до нуля также протяженности интервалов, в которых существуют и устойчивы двухударные -кратные режимы с непрерывным подбрасыванием (режимы типа с формулой наиболее протяженный интервал соответствует т. е. двухударному двукратному режиму;

г) к этому интервалу непосредственно примыкает интервал в котором реализуется двухударный двукратный режим, т. е. режим типа , с одним этапом пребывания частицы на поверхности (формула при достаточно больших значениях интервалами, в которых имеют место такие режимы с кратностью режимы типа будут

таким образом, эти интервалы при имеют конечную протяженность;

д) к последним интервалам слева примыкают также конечные при интервалы

в которых группируются режимы типа где общее число таких режимов с ростом неограниченно возрастает, а протяженности интервалов существования и устойчивости убывают до нуля; поэтому интервалы (22) можно назвать интервалами бесконечного усложнения и мельчания структуры пространства параметров системы.

Установившиеся режимы в случае неидеально упругого удара квазипластическом ударе. Области существования и устойчивости важнейших установившихся режимов движения частицы с подбрасыванием при представлены на рис. 6. В частности, на рисунке нанесены расширяющиеся при увеличеиии области, в которых реализуются одноударный одно- и двукратный, а также двухударный двукратный режимы с непрерывным подбрасыванием, т. е. режимы типов 1/1 и 2/2; области, соответствующие другим подобным режимам, на рисунке не показаны.

Области существования и устойчивости -кратных режимов с непрерывным подбрасыванием определяются соотношениями [5, 6, 32]

Неравенство (25) относится к малым значениям невыписанные слагаемые в нем имеют порядок не ниже Указанное неравенство весьма незначительно ограничивает области, определяемые неравенствами (24), которые имеют основное значение.

К промежуткам оси в которых при осуществляются режимы с этапами пребывания частицы на вибрирующей поверхности (в частности, режимы типов гл при примыкают области, где реализуются бесконечно-ударные режимы с квазипластическим характером соударений частицы с поверхностью.

Под квазипластическим ударом понимается процесс бесконечного числа учащающихся соударений убывающей интенсивности, заканчивающихся за конечный промежуток времени. По истечении этого промежутка частица оказывается на поверхности, подобно тому как это произошло бы в случае абсолютно неупругого («чисто пластического») удара Интервал, отвечающий квазипластическому удару, обозначен в формулах режима знаком а обозначение типа режима соответствует -кратному режиму с квазипластическим ударом, следующим после «обычных» этапов полета частицы

При значениях коэффициента восстановления близких к единице, теоретически существует бесконечное число различных и притом сколь угодно сложных установившихся режимов движения. Действительное движение частицы в этом случае приобретает черты стохастичиости: вследствие всегда имеющихся возмущений появляется возможность беспорядочных переходов от одного сложного режима к другому.