4. МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ И ЗАДАННОЙ ФОРМОЙ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Решение системы большого числа дифференциальных уравнений, описывающих движение многомассных моделей, — процесс трудоемкий особенно если из-за свойств материала приходится работать с нелинейными упруговязкопластическими моделями. Поэтому на практике часто пользуются приближенным методом решения. Идею этого решения поясним на примере рис. 7.
Рис. 7. Расчетная схема при ударе массы 
по упругой балке
На упругую балку, которая достаточно массивна, падает груз 
Скорость груза при ударе Прогиб балки
где 
задаваемая непрерывная функция координаты х, удовлетворяющая граничным условиям, 
подлежащая определению функция времени. Решение будет тем точнее, чем точнее угадаем форму деформированного состояния балки 
Используем принцип Гамильтона (см. т. 1, гл. X), который утверждает, что система движется так, чтобы функционал 
имел стационарное значепне, т. е. вариация 
Кинетическая энергия К системы в данной задаче состоит из кинетической энергии 
груза 
и кинетической энергии 
балки, где 
масса единицы длины балки. Потенциальная энергия деформируемой части груза равна 
где с — жесткость деформируемой части груза, 
перемещение груза. Потенциальная энергия упругой деформации балки 
Тогда
Подставляя в полученное выражение принятую аппроксимацию (19), имеем
В этом выражении все интегралы по длине могут быть подсчитаны, поскольку 
известная функция. Так как неизвестными остались две функции времени: 
то условие стационарности
имеет вид
Таким образом, систему с распределенными параметрами удалось свести к системе с двумя степенями свободы. При желании учесть неупругость удара во второе уравнение можно ввести и слагаемое 
Решая систему уравнений (20) при начальных условиях
получаем решение задачи. Если предположить, что груз абсолютно жесткий, то появляются трудности с формулированием начальных условий для балки, так как форма записи (19) не может удовлетворять условию 
при 
во всех точках, за исключением точки соударения.
Описанный способ перехода к значительно более простым системам дифференциальных уравнений в принципе применим и для многомассных систем. Если задаться формой (взаимосвязи масс) системы в деформированном состоянии по формуле (19), то все выкладки совпадут, но вместо интегралов по координате будут суммы по массам.
