2. НАКЛОННАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, СОВЕРШАЮЩАЯ ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ НАИБОЛЬШЕГО СКАТА

Основные предположения; уравнения движения частицы.

Дифференциальные уравнения относительного движения частицы в осях жестко связанных с

вибрирующей плоскостью, в рассматриваемом случае имеют вид (ось О направлена вдоль а ось поперек плоскости; рис. 1)

Здесь масса частицы; — соответственно амплитуда и частота колебаний плоскости; угол наклона траектории колебаний относительно плоскости (угол вибрации), а — угол наклона плоскости к горизонту; ускорение свободного падения; нормальная реакция; сила сопротивления движению частицы, которую вначале будем считать силой сухого (кулонова) трения; условия, когда необходимо учитывать также и силу вязкого трения и некоторые относящиеся к этому случаю результаты, будут приведены ниже.

Рис. 1. Материальная частица на плоской поверхности, совершающей прямолинейные гармонические колебания параллельно плоскости наибольшего ската

При движении частицы по вибрирующей поверхности

где коэффициент трения скольжения, а нормальная реакция определяется из (2):

Частица может двигаться без отрыва от поверхности («без подбрасывания»), если т. е.

Параметр равный отношению амплитуды поперечной составляющей переносной силы инерции (5 к поперечной составляющей силы тяжести назовем параметром перегрузки.

При относительном покое частицы на поверхности сила трения не определяется (3), а находится из (1):

Состояние относительного покоя при этом сохраняется до тех пор, пока выполняется условие

где — коэффициент трения покоя; обычно

Уравнение скольжения частицы по поверхности получается из (1) при учете (3) и

где угол трения скольжения; верхние знаки соответствуют скольжению частицы вперед а нижние — назад Уравнения полета частицы получаются из (1) при

К выписанным соотношениям необходимо добавить равенства, определяющие закон изменения относительной скорости частицы при ее соударении с поверхностью. Обычно соударение считают мгновенным, а изменение нормальной составляющей скорости определяют в соответствии с гипотезой Ньютона:

где поперечные проекции скорости частицы до и после удара; коэффициент восстановления.

В качестве <вязи продольных проекций скоростей до и после удара применительно к большому числу приложений целесообразно принять соотношения (см. гл II, параграф 2):

а) -гипотеза»:

где коэффициент мгновенного трения, иногда принимаемый равным коэффициенту грения скольжения

б) -гтпотезы

где коэффициент ударного трения, также часто принимаемый равным

Соотношения (8) — (10) представляют собой достаточно грубые приближения, дающие, однако, при соответствующем выборе постоянных хорошее согласие экспериментальных и теоретических значений скорости вибротранспортирования. О способах определения этих постоянных на основе экспеоиментальных данных и о характере их зависимости от скорости частицы см. гл. II, параграф 2.

При определенных условиях кроме силы сухого трения необходимо учитывать также и силу вязкого сопротивления движению частицы в окружающей ее среде. При этом также используют две гипотезы: в одном случае сила сопротивления считается пропорциональной первой или более высоким степеням относительной, а в другом — абсолютной скорости движения частицы. Для решения вопроса о необходимости учета силы вязкого сопротивления можно оценить отношение этой силы к силе сухого трения здесь размер частицы; ее скорость относительно среды, которую обычно можно считать имеющей порядок коэффициент сопротивления, зависимость которого от числа Рейнольдса коэффициент кинематической вязкости) определяется хорошо известным графиком, приводимым во многих руководствах по прикладной гидромеханике.

На рис 2 для (воздух при 20° С), в координатах показаны штриховкой наружу области допустимости пренебрежения сопротивлением воздуха, найденные из условия, что сила В составляет не более 10% от при плотностях частицы равных 0,4; 1,0 и Сопротивление воздуха необходимо учитывать при относительно мелких и относительно частицах.

Рис. 2. Области изменения параметров, в которых допустимо пренебрегать влиянием сопротивления воздуха на движение частицы

Если на основе описанной модели рассматривать движение слоя сыпучей среды, толщина которого значительна по сравнению с размером частиц то с силой сухого трения следует сопоставлять силу сопротивления при фильтрации среды через указанный слой; значение последней силы возрастает вместе с ростом отношения