4. ОЦЕНКА РЕЗОНАНСНЫХ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ ПРИ ВЫБЕГЕ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Как правило, особенно велики амплитуды резонансных колебаний при выбеге. Простую формулу для оценки верхней границы этих амплитуд можно получить из энергетических соображений при использовании предположения, что форма колебаний системы при прохождении через резонанс близка к соответствующей форме свободных колебаний [2].
Пусть известны выражения для кинетической и потенциальной энергии колебаний линейной системы вблизи положения устойчивого равновесия, заданные в виде однородных квадратичных форм соответственно от обобщенных скоростей 
и обобщенных координат 
с постоянными коэффициентами:
Частоты свободных колебаний системы определяются из алгебраического уравнения
все корни которого считаем различными, т. е. предполагаем, что система не имеет одинаковых собственных частот.
Полная энергия системы в режиме установившихся вынужденных колебаний с некоторой частотой со может быть представлена в форме
где 
— суммарный момент инерции неуравновешенных роторов вибровозбудителей; 
поправка, связанная с наличием в системе колеблющихся масс и с подвижностью осей роторов. Функция а 
может быть найдена в каждом конкретном случае в результате решения уравнений вынужденных колебаний и при использовании выражения для общей кинетической энергии системы, однако в этом, как правило, не возникает необходимости, ибо величина а обычно мала по сравнению с моментом инерции 
и поэтому можно либо ограничиться приближенной оценкой указанной величины, либо вообще пренебречь ею по сравнению с 
Рис. 9. Динамическая схема трехмассной центробежной вибрационной машины
Предположим, что при прохождении через резонанс, соответствующий какой-либо собственной частоте 
форма колебаний системы близка к собственной форме колебаний, отвечающей этой частоте. Подобное предположение часто делается при исследовании стационарных вынужденных колебаний; оно может быть обосновано теоретическими соображениями и хорошо согласуется с экспериментальными данными. Тогда можно представить колебательные обобщенные координаты системы при проходе через резонанс на частоте 
в форме частного решения уравнений малых колебаний системы, соответствующего той же частоте 
Иными словами, положим, что колебания системы при переходе через резонанс определяются известными выражениями (см. т. 1)
где 
постоянные; 
алгебраическое дополнение элемента последней строки и 
столбца определителя (2).
Максимальное значение потенциальной энергии системы, соответствующее колебаниям по закону (4),
Пусть со есть такая угловая скорость вращения валов вибровозбудителей, при которой в процессе выбега нестационарные резонансные явления еще не развиваются; обозначим
Эксперименты и результаты электронного моделирования показывают, что практически для получения удовлетворительного результата можно принимать 
Наибольшее значение потенциальной энергии 
при переходе через резонанс во всяком случае не превысит полной энергии системы 
в режиме установившихся вынужденных колебаний с частотой 
Поэтому искомые верхние границы амплитуд колебаний при прохождении через резонанс будем определять из равенства 
Отсюда при учете (3), (4) и (6) получим
и согласно (4) максимальные амплитуды колебаний при проходе через резонанс
В качестве примера рассмотрим случай свободной цепной системы с двумя существенными колебательными степенями свободы, к анализу которой сводится исследование вибрационной машины трехмассноЙ системы, схематически представленной на рис. 9.
Дебалансный вибровозбудитель направленного действия устанавливают на одной из масс. Частоту вынужденных (рабочих) колебаний системы а» выбирают из условий работы в межрезонансном режиме
где 
и 
отличные от нуля частоты собственных колебаний системы (одна из частот собственных колебаний всегда равна нулю). При пуске и. при выбеге, таким образом, система проходит через резонанс с частотой 
Выражения для кинетической и потенциальной энергии системы имеют вид
Уравнения свободных колебаний могут быть представлены в форме
где
а прочие обозначения понятны из рисунка.
Ненулевые частоты собственных колебаний системы определяются из уравнения
Согласно (12) имеем
и по (8) находим
Как отмечалось, 
как правило, можно полагать 
тогда получим следующее выражение для амплитуд колебаний при прохождении через резонанс:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(см. скан)
