2. МОДЕЛЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА С МЕСТНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ [6]

Для определения сил соударения приходится учитывать податливость при ударе как следствие местных деформаций. При расчете ударно-вибрационных машии приходится встречаться с ударными узлами приводов и ударом в качестве рабочего процесса, т. е. соударением ударного элемента с обрабатываемой средой.

В первом случае допускаются только упругие деформации, а пластические нежелательны, так как приводят к быстрому выходу деталей из строя. Во втором случае именно остаточные деформации являются желаемым результатом. Поэтому рассмотрим эти случаи отдельно.

Линейные упругие модели [6, 7]. Как показывают вычисления, часто достаточную точность обеспечивает линеаризованная зависимость упругой силы Для учета потерь энергии следует ввести вязкие элементы. Простейшие модели такого типа показаны на рис. 1.

Рис. 1. Линейные упругие модели ударного процесса

Модели, представленной на рис. 1, а, соответствует дифференциальное уравнение

Интегрируем это уравнение после начала ударного контакта при начальных условиях Значение импульса берем из решения (5):

где

Сила сжатия деформируемого элемента

а ее наибольшее значение

Зависимость коэффициента (3 от безразмерного параметра а приведена в табл. 1.

Для определения продолжительности удара следует использовать условие отрыва Результаты такого подсчета приведены в табл. 1. В табл. 1 также помещены данные, позволяющие перейти от значений к значению коэффициента а.

1. Параметры модели

(см. скан)

Значение коэффициента следует определить экспериментально для подобных тел при соответствующей относительной скорости удара, свободном падении и соударении с неподвижной преградой. В этом случае

Для наиболее часто используемых материалов меняется в пределах Теоретическое наибольшее значение примерно 0,92 (кинетическая энергия падения тела переходит в энергию упругих колебаний частиц соударяющихся тел). Жесткость с берут или из линеаризации формулы Герца (15), или из непосредственною эксперимента вдлвливания одного тела в другое.

Для модели показанной на рис. 1, б, решение имеет вид

а сила Соотношения между даны в табл 2 Время удара определяется зависимостью

В рассмотренных линейных моделях, содержащих упругие и вязкие элементы, предударная скорость не влияет на продолжительность удара и коэффициент восстановления

Упругопластические модели. Простейшие возможные схемы этих моделей показаны на рис 2 Обозначим через предельную силу сухою трения и введем безразмерную скорость тела перед ударом

Модель с параллельным соединением упругого элемента и элемента сухого трения (рис. 2, а). Если то тело не отделяется от преграды, т. е. происходит идеально пластический удар, изменение силы показано на рис 3, а.

2. Параметры модели

(см. скан)

Рис. 2 Простейшие упругопластические модели ударного процесса

Рис. 3 Изменение силы в зависимое! и от сближения тела с преградой для модели, изображенной на рис. 2, а

Рис. 4. Изменение силы в зави симости от сближения тела с преградой для модели, изображенной на рис. 2, б

При изменяется, как показано на рис 3, б, и происходит отскок тела от преграды. Важнейшие соотношения модели приведены в табл 3.

Модель с последовательным соединением упругого эаемента и элемента сухого трения (рис 2, б) Изменение силы показано на рис. 4 При (рис. 4, а) наблюдаются только упругие деформации Случай приведен на рис. 4, б Основные зависимости модели приведены в табл 3

Жесткопластическая модель изображена на рис 2, в Сила

3. Формулы расчета характерных величин

(см. скан)

где предел текучести стержня, который является деформируемым элементом; площадь стержня, обычно предел текучести зависит от скорости деформации

где статический предел текучести, эмпирические коэффициенты (для мягкой углеродистой стали

где длина стержня, удлинение стержня при ударе.

Если материал линейно упрочняющийся с модулем упрочнения то

Упругопластические модели описывают зависимости от скорости Правильную качественную зависимость дает только модель, приведенная на рис. 2, б.

Нелинейная вязкоупругая модель. В основу нелинейной упругой зависимости обычно принимают формулу Герца

которая выведена как статическая зависимость между силой и сближением центров масс , К — постоянная, зависящая от свойств материала соударяющихся тел и радиусов начальных кривизн их поверхностей в точке контакта. В случае сферических поверхностей

где соответственно модели упругости и коэффициенты Пуассона материалов обоих тел

Рассмотрим соударение двух тел с массами и введем относительное перемещение тел

Тогда дифференциальное уравнение движения имеет вид

В результате решения получаем

Теория Герца достаточно точна, если продолжительность удара значительно больше наибольшего периода свободных колебаний соударяющихся тел. Условие приводит к понятию критической скорости

где плотность материала.

Формула Герца предполагает также, что материал находится в упругой стадии. Это будет тогда, когда

где предел упругости; для стали ( см/с, т. е. величина малая. Это показывает, что необходимо учитывать пластические деформации.

4. Коэффициенты деформируемый элемент — конус

(см. скан)

Нелинейная упругопластическая модель. Такая модель изображена на рис. 2, а, но характеристика в этапе сближения уже нелинейна: В таком виде ее вычислить трудно, поэтому эту зависимость заменяют более удобной [3]:

Коэффициенты при статических нагружениях приведены в табл. 4—7. Для тех материалов, для которых имеется различие между статическим сттс и динамическим пределами текучести, следует ввести в расчет коэффициент динамичности

5. Коэффициент и условие удара: внедрение коиуса из стали 15 в свинец

(см. скан)

Из этого определения следует, что значения коэффициентов и меняются. Достаточно хорошие результаты дает допущение Тогда Для этапа удаления применяем формулу Герца: где максимальное остаточное сближение;

6. Коэффициенты

(см. скан)

7. Коэффициенты

(см. скан)

Все рассматриваемые выше модели применяют в двух разных расчетных вариантах. В первом варианте все расчеты кинематического характера проводят с моделью абсолютно твердого тела, используя гипотезу Ньютона. После этого определяют силы, время соударения, деформации тел. Это означает, что в первой стадии расчета импульс считают мгновенным. Примерно оценить ошибку замены импульса мгновенным импульсом можно с помощью рис. 5, на котором показано отношение точного значения импульса к приближенному в зависимости от отношения времени удара к периоду свободных колебаний системы При ошибке

Если а слишком большое, то приходится отказаться от модели твердого тела и применять второй расчетный вариант. В этом варианте

Рис. 5. Отношение точного значения импульса к приближенному в зависимости от отношения времени удара к периоду свободных колебаний системы а

приходится вместо (5) решать систему дифференциальных уравнений движения одной из моделей твердого тела с присоединенными вязкоупругими или пластическими элементами.

Модельные представления, рассмотренные выше для случая удара по преграде, вполне применимы и в случае соударения двух тел, однако конечные результаты будут зависеть уже от скоростей обоих тел до соударения; для вывода зависимостей (при малых а) следует рассматривать соударение двух моделей (каждая со своими упруговязкопластическими элементами). Ввиду того, что при этом сильно увеличивается число влияющих параметров, представить в замкнутом виде общие решения, как это удается для модели твердого тела (см. т. 2, гл. XII), практически невозможно и приходится получать решение для каждого конкретного случая.