4. ПОВЕДЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ
Для объяснения поведения вязкоупругих материалов и проведения расчетов пользуются двумя видами зависимостей — дифференциальными и интегральными.
Представление вязкоупругого материала как сочетания упругих
и вязких
элементов приводят к дифференциальным зависимостям [20]. На рис. 3 показан ряд таких моделей. Предполагая, что для упругого элемента справедлив закон Гука
а для вязкого элемента закон Ньютона
получают систему уравнений. Например, для модели, изображенной на рис. 4, имеем такую систему:
Исключая из этих семи уравнений шесть неизвестных (напряжения
и деформации в элементах
и 83, получаем дифференциальное уравнение, связывающее общее напряжение а и общую деформацию
Феноменологическая модель (рис. 4, г) дает
Зависимости (5) и (6) являются наиболее употребляемыми в практических приложениях Их используют для того, чтобы по заданным зависимостям
найти
или наоборот. При заданном
уравнение (5) позволяет определить
или наоборот;
переменная интегрирования.
Рис. 3. Феноменологические модели вязкоупругих материалов
Интегральные уравнения (7) и (8) могут быгь и обобщены!
Если зависимости (9) и (10) получены из дифференциальных зависимостей, то ядра
являются суммами экспонент. При увеличении порядка дифференциального уравнения до бесконечности, суммы переходят в интегралы:
где
спектр ползучести;
спектр релаксации.
Чаще ядра
определяют из наилучшей аппроксимации экспериментальных данных и не связывают с переходом от дифференциальных уравнений Единственным условием является то, что (9) должно быть решением интегрального уравнения (10) и наоборот. Это возможно, если
Как одно из наиболее распространенных описаний можно назвать дробно-экспоненциальное ядро Работнова [21]:
где
гамма-функция;
с— констанш материала.
Методика расчета линейных задач сводится к тому, что неизвестные величины — напряжения, деформации и перемещения — определяются как произведение:
Это позволяет выполнить расчет, как для упругой задачи, заменяя в конечном результате упругие постоянные операторами Выражения (9) и (10) примут вид закона Гука, если ввести обозначение
где оператор
В случае гармонических колебаний при заданном в
имеем
где
В случае дробно-рационального ядра (14) имеем
Постоянные, входящие в (5), (6) или (9), (10), следует определи
из эксперимента. Так как эти зависимости являются феноменологическими, то весьма редки те материалы, для которых постоянные имеют те же самые значения как при статических нагрузках (ползучесть релаксация), так и при вибрационных Поэтому постоянные должны быть определены из экспериментов при вибрационных нагрузках Однако непосредственно наблюдать можно только две величины — жесткость (силы при заданных переметениях и наоборот) и сдвиг фазы (площадь петли гистерезиса или технического коэффициента поглощения)
Сравнивая дифференциальные и интегральные зависимости, следует отметить, что параметры дифф ренциальных моделей всегда являются функциями частот и амплитуд В интегральных зависимостях удается в определенных пределах принимать, что параметры являются постоянными материала, несмотря на то, что жесткость существенно зависит от частоты. Например, для резины жесткость при промышленных частотах (10—100 Гц) примерно в 2 раза больше, чем статическая, а в акусти. ческом диапазоне — в 6—8 раз.