8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
В практике встречаемся с двумя случаями: 1) простейшая модель, используемая при нахождении идеального закона, не позволяет учесть влияние всех показателей качества; 2) при получении идеального закона учтены все необходимые показатели качества. В первом случае идеальный закон дает возможность только более обоснованно выбрать схему (используя качественно картину закона движения). При определении оптимальных значений параметров непосредственное использование идеального закона невозможно. Во втором случае можно резко уменьшить трудоемкость при определении оптимальных значений параметров, используя непосредственно идеальные законы.
Прямое определение оптимальных значений параметров. Определение оптимальных (в смысле экстремального значения выбранного критерия оптимальности при заданных ограничениях) значений параметров выбранной схемы ведется с использованием трех отдельных программ: 1) решения дифференциальных уравнений движения; 2) подсчета критерия оптимальности; 3) поиска экстремума критерия оптимальности при заданных ограничениях.
Наиболее рационально использовать гибридные устройства или АВМ для решения задачи и подсчета критерия оптимальности и ЭЦВМ для выбора следующей точки в процессе поиска и сравнения значений критериев оптимальности. И всю задачу можно решать на ЭЦВМ. Из алгоритмов поиска экстремума [62] наиболее общим и эффективным (особенно при большом числе параметров) являются самообучающиеся алгоритмы случайного поиска [63]. Однако поиск экстремума достаточно быстро ведет к цели только тогда, когда в области возможных изменений параметров имеется только один экстремум. Если возможны несколько экстремумов (локальные), из которых следует выбрать наибольший или наименьший, т. е. глобальный экстремум, то один из возможных путей состоит в том, что поиск повторяют несколько раз,
выбирая достаточно сильно отличающиеся исходные точки в пространстве параметров. Если все решения ведут к одной и той же экстремальной точке, то есть достаточно высокая вероятность, что имеем задачу с одним экстремумом. Если получаем несколько отличающихся экстремумов, выбираем глобальный. Однако в системе с многими локальными экстремумами (например, ударно-вибрационные системы), более рационально применить поисковые процедуры, использующие идеи планирования эксперимента [2, 45, 55, 65]. В работе [2] предложено использовать программу планирования эксперимента и алгоритм, идея которого заключается в следующем. Вся область поиска покрывается точками согласно теории оптимального планирования эксперимента (см. параграф 2). Число точек берется небольшое. Отбирают несколько наилучших точек. В их окрестности снова выбирают новые точки планированием эксперимента. Этот процесс, как правило, быстро сходится.
Этап решения дифференциальных уравнений движения можно миновать для механизмов, уравнения движения которых являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют общее решение, которое достаточно просто можно ввести непосредственно в программу на ЭЦВМ При создании этих механизмов у конструкторов появляется некоторая свобода выбора схемы. Система с 
степенями свободы может иметь 
постоянных коэффициентов 
в левых частях дифференциальных уравнений движения. Эту систему можно заменить одним уравнением 
порядка с 
постоянными коэффициентами 
Коэффициенты 
однозначно определяют движение каждого элемента системы, поэтому оптимизировать можно коэффициенты 
Найденным оптимальным значениям В,- отвечает ряд линейных систем с 
степенями свободы, и конструктор может выбрать наиболее рациональную. Однако при таком подходе приходится решать еще дополнительную алгебраическую систему уравнений (равенств 
зависимостей между 
и 
и неравенств, вытекающих из ограничений на реальные значения параметров).
Определение оптимальных значений параметров на основе идеального закона движения 
Весьма часто вибрационные механизмы конструируют из достаточно жестких масс 
упругих 
и диссипативных 
элементов, используя как возмущение вынуждающую силу 
Тогда для простейшего случая системы с одной степенью свободы
следует считать, что решение дифференциального уравнения (23) нам известно, так как желательно, чтобы 
Большой свободы в выборе вынуждающей силы обычно конструктор не имеет. Поэтому только коэффициент 
подлежит определению. В распоряжении конструктора имеются некоторые возможности варьирования при выборе функции диссипации 
вязкое трение, сухое трение, конструкционное демпфирование. Но так как эти возможности не очень богаты, то можно весь синтез повторить для каждого вида диссипативной силы. И здесь имеется возможность варьирования численного значения коэффициента К- Наиболее широкий выбор конструктор имеет при подборе упругих характеристик. Именно поэтому этот выбор осуществляют последним. Найти 
и такие 
которые точно удовлетворяют уравнению (23) при 
удается только в редких случаях [20, 23]. Поэтому приходится удовлетворять выражению (24) наилучшим образом. Обычно выбирают 
таким, чтобы среднеквадратичная ошибка 
за характерный отрезок времен (период) между идеальным законом ускорения 
и реальным
была бы минимальной
Чтобы свести подбор функции 
к определению коэффициентов, аппроксимируем 
либо кусочно-линейной, либо кусочно-параболической, либо какими-то другими функциями с неизвестными параметрами 
Тогда вместо минимизации функционала 
ищем минимум функции 
, При небольшом количестве неизвестных можно решать систему
а в более сложных случаях применять программу поиска экстремума.
Создать вибрационные машины как одномассные часто не удается по многим причинам (необходимо решить задачу виброизоляции и др.). Однако при синтезе системы со многими степенями свободы использует те же идеи, что в случае синтеза одномассной системы [41]. В общем случае вибромашина может иметь несколько рабочих органов с разными технологическими задачами (в качестве второго рабочего органа можно рассматривать, например, и рукоятку вибромолотка, для которого идеальный чакон движения 
Допустим, что система дифференциальных уравнений всей системы имеет вид
где 
вектор законов движения рабочих органов; 
вектор законов движения остальных масс; С — вектор неизвестных параметров системы; 
вектор идеальных законов движений рабочих органов
Составляющие вектора движения 
раскладываем в ряд
В правые части системы (27) подставляем вместо х вектор 
и вместо 2 разложение его компонент в ряд Фурье 
Тогда правые части системы уравнений (27) являются функциями только времени:
Это дает возможность составить функционал среднеквадратичной ошибки
Минимизируя среднеквадратичную ошибку 
по вектору неизвестных параметров С и коэффициентам 
получаем систему
В практике более рационально вместо решения системы (31) применять программы поиска экстремума для функционала (30).
Если приходится решать задачу без применения ЭЦВМ, то вместо минимизации среднеквадратичной ошибки можно применить идею гармонического баланса. Тогда раскладываются в ряд Фурье также все 
Подставляем это разложение в правую часть первой группы уравнений системы (29). Приравнивая коэффициенты при одинаковых слагаемых 
нулю; получаем возможность выразить 
через коэффициенты ряда Фурье 
Подставляем таким же образом выраженное 
в правую часть второй группы уравнений системы (29) и, приравнивая
слагаемые при 
нулю, получаем систему для определения неизвестных 
Использование идеальных законов движения позволяет:
1) вести целеустремленный выбор схемы; 2) обойти решение, как правило, нелинейной системы дифференциальных уравнений движений отдельных масс вибромашин.
Полученные минимизацией среднеквадратичной ошибки приближенные значения параметров могут быть уточнены сравнительно простой процедурой, сводящейся к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно поправок к значениям параметров [41]. Имеется ряд решенных по этой методике примеров со сравнением с известными точными решениями, в которых показано, что для практического применения достаточными являются значения, полученные первым приближением. Дальнейшая отладка производится уже на натурной модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(см. скан)
