§ 7. Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно Ихмеет вид

где - заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

Решение линейного уравнения (1). Будем искать решение уравнения (1) в виде произведения двух функций от х:

Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определится на основании уравнения (1).

Дифференцируя обе части равенства (2), находим

Подставляя полученное выражение производной в уравнение (1), будем иметь

или

Выберем функцию v такой, чтобы

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим

Интегрируя, получаем

или

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного от нуля решения уравнения (4), то за функцию возьмем

где - какая-нибудь первообразная. Очевидно, что

Подставляя найденное значение в уравнение (3), получим учитывая, что

или

откуда

Подставляя в формулу (2), окончательно получаем

или

Замечание. Очевидно, что выражение (6) не изменится, если вместо функции определенной равенством (5), мы возьмем какую-нибудь функцию Действительно, подставляя в вместо получим

В первом слагаемом С сокращаются; во втором слагаемом произведение СС есть произвольная постоянная, которую обозначаем одной буквой С, и снова приходим к выражению (6). Если обозначим то выражение (6) примет вид

Очевидно, что это — общий интеграл, так как С можно подобрать так, что будет удовлетворяться начальное условие при .

Значение С определяется из уравнения

Пример. Решить уравнение

Решение. Полагаем тогда

Подставляя выражение s исходное уравнение, будем иметь

Для определения v получим уравнение откуда или . Подставляя выражение функции v в уравнение (7), получаем для определения и уравнение или откуда .

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид

Полученное семейство является общим решением. Каково бы ни было начальное условие где , всегда можно так подобрать С, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданному начальному условию. Например, частное решение, удовлетворяющее условию найдется следующим образом: . Следовательно, искомое частное решение таково: Однако, если начальное условие выбрать так, что то мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при функция разрывна и, следовательно, условия теоремы существования решения не соблюдены.

Замечание. В приложениях часто встречаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами

где - постоянные.

Его можно решить и с помощью подстановки (2) или разделения переменных:

или окончательно

где обозначено Это и есть общее решение уравнения (8).